( 3 )如果 a > b , 那么 a + c > b + c . (加法法则 加法法则) 加法法则 ( i )如果 a + b > c , 那么 a > c − b . ( ii )如果 a > b , c > d , 那么 a + c > b + d .
(同向不等式相加 同向不等式相加) 同向不等式相加 (传递性 传递性) 传递性
= ( x + 10 x + 21) − ( x + 10 x + 24) = −3 < 0
2 2
所以 ( x + 3)(x + 7) < ( x + 4)(x + 6)
不等式的基本性质: 不等式的基本性质 (1 )如果 a > b , 那么 b < a ; 如果 b < a , 那么 a > b .即 (对称性 对称性) a>b⇔ b<a 对称性 ( 2 )如果 a > b , b > c , 那么 a > c .即 a > b , b > c ⇔ a > c
( iii )如果 a > b , c < d , 那么 a − c > b − d .
(4)如果a > b, c > 0, 那么ac > bc; 如果a > b, c < 0, 那么ac < bc. (乘法法则 乘法法则) 乘法法则 如果a > b > 0, c > d > 0, 那么ac > bd . (5)如果a > b > 0, 那么a n > bn ( n ∈ N , n ≥ 2).
由①②可得
a b a b > > 0,∴ > d c d c
例3. 设 a > 0, 且 a ≠ 1 ，比较
log a (a + 1)与 log a (a + 1) 的大小
2 3
解：a 3 + 1) − (a 2 + 1) = a 2 (a − 1) ( 当 0 < a < 1 时，a 3 + 1 < a 2 + 1
新课程 新思想 新理念
不等式的基本性质
研究不等式的出发点是实数的大小关系 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分 别为A,B那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点 A在点B的右边时,a>b
A a B b x bB aA x
a<b
a>b
即:
a > b ⇔ a −b > 0 a = b ⇔ a −b = 0 a < b ⇔ a −b < 0
( 3 )如果 a > b , 那么 a + c > b + c . (加法法则 加法法则) 加法法则 ( i )如果 a + b > c , 那么 a > c − b . ( ii )如果 a > b , c > d , 那么 a + c > b + d .
(同向不等式相加 同向不等式相加) 同向不等式相加 (传递性 传递性) 传递性
(乘方法则 乘方法则) 乘方法则
(6)如果a > b > 0, 那么 a > b ( n ∈ N , n ≥ 2).
n n
(开方法则 开方法则) 开方法则
例2
a b 已知a > b > 0, c > d > 0, 求证 > d c
1 1 1 c−d 证明: c > d > 0,∴cd > 0, c − d > 0, > 0,∴ − = ∵ >0 cd d c cd 1 1 a a ∴ > > 0, 又a > 0,∴ > > 0, ① d c d c 1 a b 又 ∵ a > b > 0, > 0,∴ > > 0, ② c c c
(5)如果a > b > 0, 那么a > b ( n ∈ N , n ≥ 2).
n n
(6)如果a > b > 0, 那么n a > n b ( n ∈ N , n ≥ 2).
(开方法则 开方法则) 开方法则
(乘方法则 乘方法则) 乘方法则
A.0个 个 B.1个 个 C.2个 个 D.3个 个
c d 2 .已知三个不等式 : ab > 0 , bc − ad > 0 , − > 0 a b ( 其中 a , b , c , d 均为实数 ), 用其中两个不等式作为 条件 , 余下的一个作为结论组 的正确命题的个数是 成一个命题 , 可组成
x > a y > b
成立的（ C
） B. 必要不充分条件
A. 充分不必要条件
a b > （1）若c>a>b>0，则 （真命题） 1 1 c−a c−b > ，则a>0，b<0。 （真命题） （2）若a>b, a b
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
小结: 不等式的基本性质: 不等式的基本性质 (1 )如果 a > b , 那么 b < a ;性) a>b⇔ b<a 对称性 ( 2 )如果 a > b , b > c , 那么 a > c .即 a > b , b > c ⇔ a > c
由此可知,要比较两个实数的大小,可转化为 比较它们的差与0的大小.这是研究不等关 系的一个出发点.
例1 比较( x + 3)( x + 7)和( x + 4)( x + 6)的大小.
分析:通过考察他们的差与0的大小的关系,得出这两 个多项式的大小关系.
解: 因为 ( x + 3)( x + 7) − ( x + 4)( x + 6)
D
C.2个 个 D.3个 个
A.0个 个
B.1个 个
3.已知0 < x < y < a < 1, 则有
A. log a ( xy ) < 0 C.1 < log a ( xy ) < 2
D B.0 < log a ( xy ) < 1
D. log a ( xy ) > 2
x + y > a + b 4、若a、b、x、y∈R，则 是 ( x − a )( y − b) > 0
∴ log a (a + 1) > log a (a + 1)
3 2
当a
a > 1 时， + 1 > a + 1
3 2
∴ log a (a 3 + 1) > log a (a 2 + 1)
∴总之 log a ( a + 1) > log a ( a + 1)
3 2
练习: 练习
1 1 2 2 1 .在 " (1)若 a > b , 则 < , ( 2 )若 ac > bc , 则 a > b , a b ( 3 )若 a < b < 0 , c < d < 0 , 则 ac > bd , ( 4 )若 a < b , 则 b b+ x " 这四个命题中 , 正确的个数是 C < a a+ x
( iii )如果a > b, c < d , 那么a − c > b − d .
(4)如果a > b, c > 0, 那么ac > bc; 如果a > b, c < 0, 那么ac < bc. (乘法法则 乘法法则) 乘法法则
如果a > b > 0, c > d > 0, 那么ac > bd .