的方向与Oz轴的正向相反 轴的正向相反,垂直纸面向 即 F1 的方向与 轴的正向相反 垂直纸面向 里 . 作 用 在 半 圆 PQJ 上 的 力 F2 为 F2=BI(2R)k=0.64kN
I
y J Idl
θ
R Q O P
B
方向与Oz轴的正向相同 垂直 方向与 轴的正向相同.垂直 轴的正向相同 纸面向外.因此 因此,作用在圆形载 纸面向外 因此 作用在圆形载 流线圈上的合力为零. 流线圈上的合力为零
*§ 5-11 磁力的功
一、载流导线
A = F ⋅ AA′ = BIL.AA′ = I∆Φ
二、载流线圈
A=
θ2
1
∫θ
Mdθ =
∫φ
φ2
1
Idφ = I∆φ
磁力所作的功等于电流乘以通过载流线圈 的磁通量的增加。 的磁通量的增加。
2012-5-24 1
11在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径为R 例 11 - 7 ： 在磁感强度为 B 的均匀磁场中 ， 通过一半径为 R 的 半圆导线中的电流为I 若导线所在平面与B 垂直， 半圆导线中的电流为 I。 若导线所在平面与 B 垂直 ， 求该导 线所受的安培力。 线所受的安培力。 解：
F2 = BIr ∫
sin θ dθ
= BIr[cos θ 0 − cos(π − θ 0 )] = BI (2r cos θ 0 ) 2r cos θ 0 = LAB , r ) F2 = BILAB j
2012-5-24 5
闭合回路所受的磁场力F 的和为零. 即F1=-F2,闭合回路所受的磁场力 1与F2的和为零 闭合回路所受的磁场力 上述结论不仅对图所示的闭合回路是正确的,而且对其他形 上述结论不仅对图所示的闭合回路是正确的 而且对其他形 状的闭合回路也是正确的. 状的闭合回路也是正确的
d d 2 − R2
d d −R
2
) )i
2
(1 −
)<0
12
即圆电流被载流长直导线所吸引。 即圆电流被载流长直导线所吸引。
2012-5-24
13
边长为0.2m的正方形线圈 共有 匝,通以电流 把 的正方形线圈,共有 通以电流2A,把 例11-20 边长为 的正方形线圈 共有50匝 通以电流 线圈放在磁感应强度为0.05T的均匀磁场中 问在什么方位时 的均匀磁场中,问在什么方位时 线圈放在磁感应强度为 的均匀磁场中 问在什么方位时, 线圈所受的磁力距最大. 线圈所受的磁力距最大 解 由M=NBISsinθ 可知 当线圈平面的法线与磁场的方向垂 θ 可知,当线圈平面的法线与磁场的方向垂 直时(θ 线圈所受磁力最大.此力矩为 直时 θ=900)时,线圈所受磁力最大 此力矩为 时 线圈所受磁力最大 M=NBIS=50×0.05×2×(0.2)2Nm=0.2Nm × × ×
2012-5-24
9
载流导线间的磁场力.如图所示 如图所示,一无限长载流直导 例11-19 载流导线间的磁场力 如图所示 一无限长载流直导 线与一半径为R的圆电流处在同一平面内 的圆电流处在同一平面内,它们的电流分别为 线与一半径为 的圆电流处在同一平面内 它们的电流分别为 I1和I2,直导线与圆心相距为 且R<d,求作用在圆电流上的作 直导线与圆心相距为d,且 直导线与圆心相距为 求作用在圆电流上的作 用力. 用力 解1.建立坐标系 建立坐标系 2.在圆电流上取电流元 2dl， 在圆电流上取电流元I 在圆电流上取电流元 3.无限长载流直导线的磁 无限长载流直导线的磁 场为非均匀磁场,磁感应强 场为非均匀磁场 磁感应强 I1 度的方向垂直纸面向外. 度的方向垂直纸面向外 4.电流元 2dl所在处的磁感 电流元I 所在处的磁感 电流元 应强度为
0
θ
dFy
θ
I
Idl
O l
dl P x
Fx = ∫ dF = BI ∫ dy = 0
x 0 l
r F = Fy ˆ = BIlˆ j j
8
Fy = ∫ dFy = BI ∫ dx = BIl
2012-5-24
0
在均匀磁场中,任意形状的载流直导线所受的磁场力 与其起 在均匀磁场中 任意形状的载流直导线所受的磁场力,与其起 任意形状的载流直导线所受的磁场力 点和终点相同的载流直导线所受的磁场力是相同的.另外 另外,若 点和终点相同的载流直导线所受的磁场力是相同的 另外 若 导线的始点和终点重合到一起,此时载流导线构成一闭合回 导线的始点和终点重合到一起 此时载流导线构成一闭合回 此时始点与终点的连线l为零 由上式知,此闭合回路所受 路,此时始点与终点的连线 为零 由上式知 此闭合回路所受 此时始点与终点的连线 为零.由上式知 的磁场力为零. 的磁场力为零
y J Idl I Q O P (a)
2012-5-24
y B
θ
R
θ
K x m z
M dl
B
dθ O R x
(b)
15
把圆线圈分为JKP和PQJ两部分 半圆 两部分,半圆 所受的力F 解 把圆线圈分为 和 两部分 半圆JKP所受的力 1为 所受的力
F1 = − BI ( 2 R )k = −2 BIRk = −2 × 0.08 × 20 × 0.20kN = −0.64kN
r r r F = i ∫ dFx + j ∫ dFy
由电流分布的对称性 分析导线受力的对称 性
r dF
r dFx
r dFy
y
r dFy
I
r dF r dFx
Байду номын сангаас
θ
x
2
F = ∫ dFy
2012-5-24
由安培定律 由几何关系
dFy = dF ⋅ sinθ = BIdl ⋅ sinθ
dl = Rdθ
r dF
r r r ) ) dF2 = Idl × B = dF2 x i + dF2 y j
F2 x = ∫ dF2 x = 0 F2 = F2 y = ∫ dF2 y = ∫ dF2 sin θ = ∫ BIdl sin θ
dl=rdθ, θ r为圆弧的的半径 为圆弧的的半径, 为圆弧的的半径
π −θ 0 θ0
ˆ B = Bi
y
θ
2
M dl
B
M = IBπR ˆ j
z
m
dθ O R x
(b)
2012-5-24 18
一半径为R的薄圆盘 的薄圆盘， 例11-22 一半径为 的薄圆盘，表面上的电荷面密 放入均匀磁场B中 的方向与盘面平行。 度为σ，放入均匀磁场 中，B的方向与盘面平行。 的方向与盘面平行 绕通过盘心、垂直盘面的轴转动。 若圆盘以角速度ω绕通过盘心、垂直盘面的轴转动。 求作用在圆盘上的磁力矩。 求作用在圆盘上的磁力矩。
K x
2012-5-24
16
虽然作用在线圈上的合力为零,但 虽然作用在线圈上的合力为零 但 力矩并不为零.线圈在力矩的作用 力矩并不为零 线圈在力矩的作用 要产生绕Oy轴的转动 下 ,要产生绕 轴的转动 下面来 要产生绕 轴的转动.下面来 计算作用在线圈上的力矩,如图 计算作用在线圈上的力矩 如图 (b) 所示,按照力矩的定义 对 Oy轴而 所示 按照力矩的定义,对 轴而 按照力矩的定义 作用在电流元Idl上的力矩 言 ,作用在电流元 上的力矩 作用在电流元 上的力矩dM 的大小为
M = dIBR
2
∫
2π
0
sin 2 θdθ = IBπR 2
力距M的方向沿 轴正向 力距 的方向沿Oy轴正向 的方向沿 轴正向. 上述结果也可用另外的方法得到， 可以看出,此线 上述结果也可用另外的方法得到，从图 (b)可以看出 此线 可以看出 圈的磁矩M为 圈的磁矩 为
r ˆ ˆ m = ISk = IπR 2 k
y
dF
dFy
θ
dFx
Idl
θ
I O l dl P x
2012-5-24
7
r r r 建立坐标系,.取电流元 取电流元Idl,它所受的力为 解 建立坐标系 取电流元 它所受的力为 dF = Idl × B
dF沿Ox轴和 轴的分量分别为 沿 轴和 轴和Oy轴的分量分别为
y dF dFx
dFx = dF sin θ = BIdl sin θ dFy = dF cos θ = BIdl cos θ 而dl sin θ = dy, dl cos θ = dx, dFx = BIdy dFy = BIdx
dF2 dl y C
r F1 = − BILAB ˆ j
2. 在弧形导线 在弧形导线BCA上取一线元 上取一线元dl. 上取一线元 作用在此线元上的力dF 作用在此线元上的力 2,
B
r r r dF2 = Idl × B
θ0
θ
dθ
A
θ0
x
dF2方向为矢积 ×B的方向 方向为矢积dl× 的方向
2012-5-24 4
2012-5-24
6
如图所示,在 平面上有一根形状不规则的 例11-18 如图所示 在xy平面上有一根形状不规则的 载流直导线,电流为 磁感应强度为B的磁场与 电流为I。 的磁场与xy 载流直导线 电流为 。 磁感应强度为 的磁场与 平面垂直.求作用在此导线上的磁场力 求作用在此导线上的磁场力. 平面垂直 求作用在此导线上的磁场力
d I2dl dθ O y dFy dF
θ
dFx
θ
x R
µ0 I1 B= 2π d + R cosθ
2012-5-24
I2
10
µ0 I1 I 2 dl dF = BI 2 dl = 2π d + R cos θ µ0 I1 I 2 Rdθ = 2π d + R cos θ
r ) ) ) ) dF = dFx i + dFy j = dF cos θi + dF sin θj