1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
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平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
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Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
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两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
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虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
理想约束
质点上的合力必然为零：
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设具有N个质点的系统处于静力平衡状态，则作用在其中每一个
Ri=0，i=1，2，…N
合力Ri可分解为两部分： 主动力Fi——主动施加的外力以及质点之间主动作用的内力；
力所做虚功之和为零：δW= －kxδx＋mgδy=0
(1)
此系统为单自由度系统，取θ角为广义坐标，由几何关系可 得：x=L(1-cosθ) y=Lsinθ。 取微分：
x L sin
y L cos
代入(1)式整理得:
mg (1 cos ) t g kL
广义坐标下的虚位移原理
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根据机械系统自由度数目，刚性构件机械系统可以划分为： 单自由度机械系统； 多自由度机械系统。
机械系统的组成、研究内容
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原 动 机
传动机构
执行机构
机 械 系 统
驱 动 力 工作阻力
运动规律？
研究内容：研究刚性构件机械系统在力作下的运动规律。
N N n
ri 上式求全微分，得： ri qj j 1 q j
n
i=1,2,,N
N Fi ri 交换求和次序： W q j j 1 i 1
n
q j 0
r 令： Q j Fi i q j i 1
N
j 1, , = 2, n
只有δqj≠0，其它广 义坐标的虚位移都 为0，非保守力所做 的虚功。
Qj——非保守力所对应的广义力。 根据虚位移相互独立的特点， Qj 为： Q j
W j
qj
j 1, 2, , n
Lagrange方程应用实例 例1 图示线性弹簧、光滑平面的质 块——单摆系统。列出图示系统运 动微分方程。 解：不考虑滑块、摆杆的弹性变形； 不考虑弹簧质量，则该系统为两自由 度数。取滑块位移x、 摆杆摆角θ作 为广义坐标。 (1)系统势能、动能、Lagrange函数
d L dt q j L 0 q j j 1, 2, , n
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L为Lagrange函数：L=T－V (2)非保守力系统Lagrange方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
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具有N个质点的系统。设其自由度为n，广义坐标q1，q2，…，qn。 各质点向量表示为：ri=ri(q1，q2，…，qn) i=1,2,…,N。
ri qj 0 由虚位移原理： W Fi ri Fi i 1 i 1 j 1 q j
F l1 F2l2 1
Bernoulli采用一种新的观点来研究这一问题，他假 定杠杆在F1、F2作用下已处于静力平衡状态，然后 让它产生一个约束条件所允许的微小位移，即绕O点 转过一个微小角度θ，杠杆两端位移分别为：
F1、F2两力所作的功： F1 x1 F2 x2 Fl1 F2l 2 0 1
W Q j q j 0
j 1
n
由于各广义坐标的取值是相互独立的和任意的，上式成立条件是： j=1,2,…,n
δqj的所有系数为零：Qj=0
广义坐标下的虚位移原理
静平衡的必要和充分条件是其n个广义力均为零，即： Qj=0 j=1,2,…,n。
广义力定义为: Q j
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(2)广义力
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点M坐标：
xM x s l sin yM l cos
广义坐标x的虚位移为δx
Q1 x P sin t x 0
广义坐标θ的虚位移为δθ
Q1 P sin t 0
Q2 P sin tL cos 0


L MLx cos ML2 L kx x
d L 2 x ML cos x sin ML dt


L MLx sin MgL sin
( M m) ML( cos 2 sin ) kx P sin t x 2 ML MLx cos MgL sin PL sin t cos
1 1 1 2 MLx cos ML2 2 kx 2 MgL cos L T V ( M m) x 2 2 2 L d L ( M m) x ML cos ( M m) ML cos 2 sin x x dt x
第1章 刚性构件机械系统动力学 刚性构件机械系统：由刚性构件所构成的机械系统。 假设： (1)忽略运动副间隙的影响； (2)忽略运动副中的摩擦。 当机械系统各构件的刚度 较大且运转速度较低时，将 机械系统简化为刚性系统是 合理的；对于一般的非精密 机械系统，忽略运动副间隙 和摩擦能够满足实际应用的 要求。
系统广义坐标数＝系统自由度数。
例如 双摆系统 用广义坐标表示双摆系统质点的直 角坐标。 系统自由度数：2。 取θ1，θ2作为广义坐标。 质点m1，m2的直角坐标x1，y1， x2，y2可以用θ1、θ2表示。
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x1 L1 sin 1 y1 L1 cos 1
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取滑块质心为重力势能零点。 系统势能：
1 2 V kx MgL cos 2
系统动能
摆锤坐标x，y： xM x s l sin
yM l cos
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摆锤速度：
xM x l cos yM l sin
x2 L1 sin 1 L2 sin 2 y2 L1 cos 1 L2 cos 2
1.1.2 虚位移原理
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虚位移原理是J.Bernoulli于1717年提出的用于确定系统静平衡条件 的准则。 杠杆静力平衡条件: 例如：杠杆系统
约束力fi——由约束产生的被动力，包括支反力和约束产生的内力。
Ri = Fi + fi = 0， i=1，2，…N 合力Ri在虚位移δri下所做虚功为零：
δW= Ri•δri=0，i=1，2，…N
Fi•δri +fi•δri=0，i=1，2，…N 对下标i求和，得 质点系静力 平衡条件！
F r f r
虚位移原理应用实例
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例1 如图所示，不考虑刚性杆的质量，线性弹簧原长为x0。当弹簧 未伸长时，刚性杆处于水平位置，如图中虚线所示。试以虚位移原
理确定其处于静平衡位置时的θ角。
解：系统组成：连杆、重物mg、弹簧 外力：弹簧恢复力与重力。 在平衡位置附近，令系统产生虚位移δx、δy。弹性力与重
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两个光滑表面1、2在o点相互接触，如 果不考虑摩擦力，则两曲面之间的作用 力N1，N2沿接触点的公法线方向。 N1——曲面2对曲面1的作用力； N2——曲面1对曲面2的作用力； δr1、δr2——两曲面的虚位移； δrT1、δrT2——虚位移δr1、δr2的切向分 量； δrN1、δrN2——虚位移δr1及δr2的法向分 量。
广义坐标下的虚位移原理：在理想约束情况下，n自由度系统处于
ri Fi q i 1 j
N
j 1, , = 2, n
W Q j q j 0
j 1
n
(1)广义力Qj的量纲与广义坐标qj的量纲有关。由于Qjδqj的乘积为功