xyOxyO AxyO Bxy OCxy ODf (x )-第一学期期末考试高二数学试卷(理)（考试时间为120分钟，总分为160分） 2007年1月 一、选择题（每题5分，共计50分） 1．已知()ln f x x =，则()f e '的值为A ．1B ．-1C ．eD ．1e2．设(,4,3)a x =，(3,2,)b z =，且//a b ，则xz 等于 A ．4- B ．9-C ．9D ．6493．函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象大致是4．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15, 则点P 到点(－5, 0)的距离是 A ．7 B ．23 C ．11或19 D ．7或235．已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥≤0420y x x y y ，则z = x + 3y 的最小值是A ．316 B ．316-C ．12D ．－126．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同7．“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件8．设P 是ABC ∆所在平面外一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 在这 个平面上的射影是ABC ∆的A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列 的第2007项是A ．2050B ．2051C ．2052D ．2053 10．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2二、填空题（每题5分，共计30分）11．双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 ▲ ． 12．命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题是 ▲ ．13．等差数列的第2，3，6项顺次成等比数列，该等差数列不是常数列，则这个等比数列的公比为 ▲ ．14．设点P 在抛物线212x y =上，且点P 到此抛物线的焦点的距离为6，则点P 的坐标 为 ▲ ．15．在曲线sin y x =(0)x π<<上取一点M ，使过M 点的切线方程与直线y =23x 平行，则M 点的坐标是点 ▲ ．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 ▲ ．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(3M ． （1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标； （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．18．（本题满分16分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE 垂直BD 于点E ，F 是11A B 的中点．（1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值；19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ，其中1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）．（Ⅰ）若20a = 30，求d ；（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围； （Ⅲ）续写已知数列，可以使得403130,,,a a a 是公差为d 3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *）；（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下，且1d ≠，试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++．20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值． (1) 求,a b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值； (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立，求c 的取值范围．21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =． （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则总存在实数λ，使AB PQ λ=，请给出证明．D 1C 1B 1A 1EFDCBA2006-2007学年第一学期期末考试班级________________ 姓名________________ 学号_________________……………………………………装…………………………………………………………订…………………………线……………………高二数学试卷答卷（理）二、填空题（每题5分，共计30分）11．12．13．14．15．16．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）18．（本题满分16分）19．（本题满分16分）D1C1B1A1EFDCBA20．（本题满分16分）21．（本题满分18分）……………江苏省高级中学2006-2007学年第一学期期末考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题（每题5分，共计50分）二、填空题（每题5分，共计30分）11．2y x =±； 12．若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠； 13．3 14．(6,3)±； 15．1(,)62π； 16．②③三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(3M ．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标； （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．解：（1）由题意可设抛物线1C 的方程为22y px =． (2分)把2(,33M 代入方程为22y px =，得2p = (4分)因此，抛物线1C 的方程为24y x =． (5分) 于是焦点(1,0)F (7分) （2）抛物线1C 的准线方程为1y =-，所以，1(1,0)F - (8分)而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ，于是17522333a MF MF =-=-= 因此，13a =(10分) 又因为1c =，所以22289b c a =-=． 于是，双曲线2C 的方程为2211899x y -=． (12分) 因此，双曲线2C 的离心率3e =． (14分)18．（本题满分16分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE垂直BD 于点E ，F 是11A B 的中点． （1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； （2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值；解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以1AA 所在的直线为z 轴，建立如图 所示空间直角坐标系．由已知2AB =，11AA =，可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(1,0,1)F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=，而2AB =，AE BD ⊥，1AE =，23AD =，因此易得13(,,0)2E ，23(0,,0)D ． (4分) （1）因为13(,,0)2AE =，(1,0,1)BF =-，所以12cos ,42AE BF AE BF AE BF-⋅<>===-⋅．于是，异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为4． (10分) （2）易知直线1AA 的一个方向向量为(0,0,1)m=，设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量，(2,3BD =-，由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩0n BF n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取1x =，得(1,3,1)n =，所以5cos ,5m n m n m n⋅<>==⋅，即直线1AA 与平面BDF 所成 (16分)19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ，其中1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）． （Ⅰ）若20a = 30，求d ；（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，可以使得403130,,,a a a 是公差为d 3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *）；（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下，且1d ≠，试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++． 解：（Ⅰ）1010a =20101030a d =+=于是，2d = (4分) （Ⅱ）1010a = 201010a d =+22302010101010a a d d d =+=++因此，230110()7.57.52a d =++≥ (8分)（Ⅲ）32340301010101010a a d d d d =+=+++11010,11010......1010(1),11n n nn d a d d d d d-=⎧⎪=+++=⎨-≠⎪-⎩ (12分) （Ⅳ）10012100......S a a a =+++12101112209192100(......)(......)......(......)a a a a a a a a a =++++++++++++29102090110110110110(10)(1010)(1010) (1010)2222a d a d a d ++++=⨯++⨯++⨯+++⨯2910209010(......)55(1......)a a a d d d =++++++++29100(9......)1d d d d=-----+101551d d -⋅- 1110255451055955(1)d d d d +-+=- (16分)20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值． (1) 求,a b 的值； (2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值； (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c<恒成立，求c 的取值范围． 解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0． 由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′(x )＝0的解．－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． (4分) 经检验得：这时1x =与23x =-都是极值点． (5分)（2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1．∴f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋1．∴ f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）．当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12．(10分)（3）由（1）得，f ′(x )＝(x －1)(3x ＋2)，f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，f (x )在[－1，－23)及（1，2]上递增，在（－23，1）递减．而f (－23)＝－827－29＋45＋c ＝c ＋2227．f (2)＝8－2－4＋c ＝c ＋2．∴ f (x )在[－1，2]上的最大值为c ＋2． ∴ 32c c+<∴2230c c c+-< ∴ 20230c c c >⎧⎨+-<⎩ 或20230c c c <⎧⎨+->⎩∴ 01c <<或3c <-． (16分)21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =． （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则总存在实数λ，使λ=，请给出证明．解：（1）2a =，即2OA =，02AC BC ACB π⋅=⇒∠=．12OC OB BC AC === ∴ 2OA OC ==∴ (1,1)C (4分) 如图建立直角坐标系，设椭圆的方程为22221x y a b+=(0)a b >>． 则由(1,1)C 代入22221x y a b +=得22111a b+=，把2a =代入22111a b +=得243b =． 所以椭圆的方程为223144x y += (8分) （2）设PCQ ∠的平分线CD 交OA 于点D ，则CD OA ⊥．由PCD QCD ∠=∠可知直线PC 与QC 的倾斜角互补． (10分) 于是直线PC 与QC 的斜率互为相反数，因此可设：直线PC 的方程为1(1)y k x -=- 和直线QC 的方程为1(1)y k x -=--．由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩解得2222361321(,)3131k k k k P k k ----+++； (14分) 同理由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=--⎩解得2222361321(,)3131k k k k Q k k +--++++． ∴ 直线PQ 的斜率13PQ k =，而13AB k =（特例）． (16分)PQ AB∴//=．(18分)∴总存在实数λ，使λ。