江西省横峰中学2014届高三高考适应性考试数学（文）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知z ＝1－i(i 是虚数单位)，则4
z
＋z 2＝( )
A ．2
B ．2i
C ．2＋4i
D ．2－4i
2.设U ＝R ，M ＝{x|x 2－x ≤0}，函数f(x)＝
1
x －1
的定义域为D ，则M ∩(C U D)＝
A ．[0,1)
B ．(0,1)
C ．[0,1]
D ．{1} 3.设5π2<θ<3π，且|cosθ|＝15，那么sin θ
2
的值为( )
A.
105 B ．－105 C ．155 D . — 15
5
4某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取20个作为样本． ①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教工编号为00,01，…，149，然后平均分组抽取30个样本； ③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本． 下列说法中正确的是( )
A ．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等
B ．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此
C ．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此
D ．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的
5.已知f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3，x ≤1，
－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g(x)＝f(x)－e x 的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A ．3
B ．6-
C ．10
D ．15-
7. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋85
3
，则正视图与侧视图中x 的值为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8. 已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，22－1)
C ．(－1,22－1)
D ．(－22－1,22－1)
9．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22
22100x y (a ,b )a b
-=>>的左、
右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若1ABF ∆ 为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ．13 C ．7 D ．5
10.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,ττττ，则下列关系中正确的为 ( )
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷的横线上．)
11. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则BD AE ∙＝________.
12．设等比数列{}n a 的前n 和为n S ，已知
422
4
2,3a a S S -=则的值是 ．
13. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，y ≥－x ，
x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P(x ，y)∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为
________．
14. 已知曲线22:C x y m +=恰有三个点到直线125260x y ++=距离为1，则m = ． 15. 不等式a x x ≥-++11恒成立，则a 的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.已知函数231()sin 2cos ,22
f x x x x R =--∈．]
（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若 sin 2sin B A =，求a ，b 的值
17．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品
中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
x 1 2
3 4 5 f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1， x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2.现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
18．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 满足：23
1=
a ， 1323
n n n a a a +=+
（1）证明数列{
a
n
1
}是等差数列并求n a 的通项；
（2）若数列{}n b 满足⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=⋅n
n n a b 2113，求数列{}n b 的前n 和 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，
E 是棱CC 1的中点，
F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2.
(1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)点C 到平面AB 1E 上的距离．
20.(本小题满分13分) 双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为3
2，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M
为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →
＝0，且|PQ →
|＝10，求直线l 的方程． 21.（本小题满分14分）
已知函数32()(63)x f x e x x x a =-++.
江西横峰中学2014届适应性考试数学（文科）参考答案
18.（1）∵()1n n a f a +=，∴1323n n n a a a +=
+，即1112
3
n n a a +=+，
∴
()11122
133
n n n a a =+-=，则32n a n =. （2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅n n n
a b 2113，∴n b =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-n n 2112
∴n S =n b b b ++21=()n 242+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--1222
3
221n n
2123(1)(1)222n n
n n -=+-+
+++ 令21231222n n n
T -=++++则23112322222n n
n T =+++
+
，两式相减得
2311111
1112(1)2222
2222n n n n n
n n T -=+++++
-=--，
12
4(1)22n n n
n T ∴=-
-
2
1242n n n S n n -+∴=+-+.
20解： (1)依题意有⎩⎨⎧
c
a
＝2，ab a 2
＋b
2
＝32，
a 2
＋b 2
＝c 2
.
解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.
所以，所求双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1. …5分
(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →
|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－y 2
3＝1(x>0)，y ＝k (x －2)，
消去y 得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.① 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.
设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有
⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝4k 2
k 2－3
>0，
x 1x 2
＝4k 2
＋3
k 2－3
>0，
Δ＝(4k 2)2
－4(3－k 2
)(－4k 2
－3)>0，
所以k 2>3.② ……9分
因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →
|＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝1
2|PQ|＝5. 又
|MN|＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3， 而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2
k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3….12分
∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)．
即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0. ……13分
21：。