第1页福建省厦门第一中学2020-2021学年度上学期12月阶段性考试高三年数学试卷一、单选题：本大题7小题，每小题5分，共35分。

1.如果集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,4,8A =，{}1,3,4,7B =，那么()U A B =A ．{4}B ．{1，3，4，5，6，7}C ．{1，3，7}D ．{2，8}2.已知复数z 满足(1)35z i i +=+，则z 的共轭复数z = A ．4i -B ．4i +C ．1i --D ．1i -+3.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．3D ．44. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ的一个充分条件是 A ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β，b α B ．存在一条直线a ，a α，a β C ．存在一条直线a ，a α⊂，a βD ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b α⊂且a β，b β第2页5.学生甲、乙、丙报名参加校园文化活动，活动共有四个项目，每入限报其中一项， 则甲所报活动与乙、丙都不同的概率等于 A ．34B ．916C ．3281D ．386.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，t min 后物体的温度C θ︒可由公式0.24010()t e θθθθ-=+-求得．把温度是100C ︒的物体，放在10C ︒的空气中冷却 t min 后，物体的温度是40C ︒，那么t 的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)A ．6.61B ．4.58C ．2.89D ．1.697.已知O 为ABC ∆的外心，260OA OB OC ++=，则ACB ∠的正弦值为B.12C.38二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得3分，选错或不答得0分。

8. 在61()x x-的展开式中，下列说法正确的有 A ．所有项的二项式系数和为64 B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．展开式中不含2x 项第3页9.已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，若()()124g x g x ⋅=-，则12x x -的值可能为A ．54π B ．34π C ．2π D ．4π10. 已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为3π的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1||||PM MF =，下列判断正确的是A ．216PF F π∠=B ．211||||2MF PF =C ．E 的离心率等于23+D ．E 的渐近线方程为2y x =±11.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状 多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信 形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形 围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”．半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个 棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1． 则下列关于该多面体的说法中正确的是 A .多面体有12个顶点，14个面 B .多面体的表面积为3C .多面体的体积为56D .多面体没有外接球(即经过多面体所有顶点的球)第4页三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.某学校高三年段有三个班级，人数分别为1班40人、2班45人、3班50人，在一次考试中， 三个班级的平均分数分别为81分、86分、90分，则这次考试该年段学生的平均分数为 ▲ ．13.若,αβ为锐角，tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则αβ+= ▲ ．14.定义在R 的偶函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则不等式(1)0xf x -≤的解集是 ▲ .15.已知正项等比数列{}n a 中，42516, 15a a a a -=-=，则n a =_▲_，数列{}n b 满足1111, 21n nb b b +==-；若n S 为数列{}1n n a b +的前n 项和，那么3n S =_▲_.四、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。

16.(本小题15分)已知在ABC ∆中，C ∠为钝角，()3sin 5A B +=，()1sin 5A B -=．(1)求证：tan 2tan A B =； (2)设6AB =，求AB 边上的高．第5页17.(本小题12分)厦门市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光． 交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到 如图示的列联表：闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过45岁 6 74 80 年龄超过45岁24 96 120 合计30170200(1)能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？(2)如图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图．请建立y 与x 的 回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计该路口6月份闯红灯人数． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，1221ˆni ii n i i x y nxyb x nx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 2()P K k 0.0500.025 0.0010 0.005 0.001k 3.8415.0246.6357.879 10.828参考数据：51685i i y ==∑，11966i i i x y ==∑.第6页18.(本小题12分)如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==22CE EB ==.(1)证明：ED ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值.19. (本小题12分)在①12n n S a n +=；②12n n n a a S +=；③()()22221231216n n n n a a a a ++++++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，满足 .第7页(1)求{}n a 的通项公式；(2)若n T 为数列{}2n a的前n 项和，记12n n n n Tb T T ++=⋅，求证：1212n b b b +++<.20. (本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>在右、上顶点分别为A 、B ，F 是椭圆Γ的左焦点，23,P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭是椭圆Γ上的点，且|OB|=|OF|(O 是坐标原点). (1)求椭圆Γ的方程；(2)设直线l 与椭圆Γ相切于点M(M 在第二象限)，过O 作直线l 的平行线与直线MF 相交于点N, 问：线段MN 的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.第8页21.已知函数()ln f x x ax =- (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()1212,x x x x <是()f x 的两个零点．证明：(i)122x x a+>；(ii)21x x ->．数学答案一、单项选择题： 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7.D二、多项选择题： 8.AB 9.ABD 10. BC 11.AC 三、填空题：12. 8613.34π 14. (][],10,3-∞-15. 12n -，817n - 四、解答题：16.（1）证明：()3sin 5A B +=，3sin cos cos sin 5A B A B ∴+=，又sin cos cos sin A B A B -15=2sin cos 5A B ∴=，1cos sin 5A B =tan 2tan A B ∴= （2）解：由（1）知()4cos 5A B +=，()3tan 4A B ∴+= 即：tan tan 31tan tan 4A B A B +=-，将tan 2tan A B =代入上式并整理得：22tan 4tan 10B B +-=第9页又因为B 为锐角，tan 0B >，所以解得tan B =，tan 2tan 2A B ∴==-．设AB 上的高为CD，则26tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+==，得)22CD =-，故AB边上的高为)22-．17.解： （1）设0:H 闯红灯的行为与年龄无关；由列联表计算22200(6967424) 5.882 5.0243017080120K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以假设不成立，在犯错误概率不超过0.025的前提下可认为闯红灯的行为与年龄有关 即有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）由题意得，1(12345)35x =⨯++++=，1(158143134130120)1375y =⨯++++=；所以5125215196653137ˆ8.955595ii i i ix yxybxx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ137(8.9)3163.7ay bx =-=--⨯=， 所以y 与x 的回归方程ˆ8.9163.7yx =-+， 6x =时，ˆ8.96163.7110.3y=-⨯+=；估计该路口6月份闯红灯人数为110（或111）． 18.解： （1）PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PC DE ∴⊥．22CD DE CE EB ====，CDE ∴∆为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥．PC CD C =，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD ．（2）由（1）知，CDE ∆为等腰直角三角形，4DCE π∠=．第10页如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，则1DF FC FE ===，又已知1EB =，故2FB =． 由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==． 以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(0P ，0，3)，3(2A ，0，0)，(0E ，2，0)，(1D ，1，0)，(1ED =，1-，0)，(1DP =-，1-，3)，1(2DA =，1-，0)．设平面PAD 的法向量为1(n x =，1y ，1)z ，由0n DP =，0n DA =，得1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取12x =，得(2n =，1，1)．由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量(1m BD ==，1-，0)， 3cos ,||||m n m n m n <>==，故所求二面角A PD C --3．19.解：① 在横线上填写12n n S a n +=.解：即12n n S na +=，（i ）1n =时，122S a =，即22a = （ii ）1n >时，12(1)n n S n a -=-，作差得12(1)n n n a na n a +=--，即1(1)n n n a na ++=即11n n a a n n +=+，即1211121n n a a a a n n +====+ 综上n a n =.解：（i ）1n =时，1212a a S =，即22a =（ii ）1n >时，112n n n a a S --=，作差得11()2n n n n a a a a +--=，又0n a >即112n n a a +--=即21212k k a a +--=，21{}k a -是以1位首项，2位公差的等差数列.则2121k a k -=- 同理2+222k k a a -=，2{}k a 是以2位首项，2位公差的等差数列.则22k a k = 综上n a n =.第11页（i ）1n =时，11a =， （ii ）1n >时，()()222212311216n n n n a a a a ---++++=，作差得()()()()2212112166n n n n n n n a n ++--=-=，又0n a >即n a n =.综上n a n =.（2）1212(12)2222212n nn n T +-=+++==--，11111111112211n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T b T T T T b T T T T T T T T T T T T +++++++++++--======-⋅⋅⋅⋅⋅所以12n+2122311111111111111=+++==2222n n n n b b b T T T T T T T T +++++-----<- 20.解：（1）由题意可得2222231124b c a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得22a =，21b =，21c =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设0(M x ，0)y ，M 在第二象限，故切线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()00y k x x y =-+，即00y kx y kx =+-，与椭圆2221x y +=联立，整理得：2220000(12)4()2()20k x k y kx x y kx ++-+--= (*)因为直线与椭圆相切，所以△2222000016()8[()1](12)0k y kx y kx k =----+=整理得2220000(2)210xk kx y y -++-= ① 又因为点0(x ，0)y 在椭圆上，所以220012x y +=代入①得2222000002202x y k kx y k ++=+=，所以002xk y =-， 所以切线方程为0000()2x y y x x y -=--，即220000222x x y y yx +=+=；①(1,2M -，直线:1MF x =-，则(1,2N --,||MN =.第12页②直线00:(1)1y MF y x x =++，联立两直线方程可得22002200002222N y y x x y x x =-=-+++22222222000000022000(1)+(22)||[1()]()1(1)(2)N y x y y x x MN x x x x x +++=+-=⋅+++ 2202002200(211)(22)2(1)(2)x x x x x x +++-+=⋅++200202(44)=2(2)x x x ++=+，||MN =为定值. 21.解：（1）()f x 定义域()0,+∞，()11axf x a x x-'=-=则当0a ≤时，()'0f x > ，()f x 在()0,+∞为增函数；当0a >时，()10,,'0x f x a ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，()1,,'0x f x a ⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数 （2）证明：（ⅰ）原不等式等价于1212x x a+>， 因为11ln ax x =① 22ln ax x =② 由②-①得，()2121ln ln a x x x x -=-则2121ln ln x x a x x -=-，则1212x x a +>等价于1221212ln ln x x x x x x +->- 因为210x x >>所以21ln ln 0x x ->即证()2121122ln ln x x x x x x -->+ ③等价于21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，设21x t x =，()1t >设()()21ln 1t g t t t -=-+，()1t >③等价于()0g t >，()()()()222112011t g t t t t t -'=-=>++第13页()g t 在()1,+∞上为增函．21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，()()10g t g >=，即1212x x a +>（ⅱ）设()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'= 所以()h x 在(]0,e 上递增，在(),e +∞上递减 因为()a h x =有两个不相等的实根，则10a e<<且121x e x <<< 易知ln 1x x <-对()()0,11,x ∈⋃+∞恒成立，则1ln1x x>-对()0,1x ∈恒成立 11111ln 1ln1x eax x e x -=-=>-，因为10x >，所以21120ax x e -+> 又因为0a >，440ae ∆=->，所以11x a <或11x a >+ 因为10x e <<且10a e <<，所以11x a <因为1212x x a +>，所以121112x x x a a ⎛+->- ⎝即21x x ->。