北邮概率统计课件
注： P( x X x x) F( x x) F( x)
不计高阶 无穷小
x x
x f ( x)dx
f ( x)x
b
(相当于积分中值定理 f ( x)dx f ( x)(b a) ) a
这表示落在区间 ( x, x x]上的概率近似等 于 f ( x)x ，称 f ( x)x 为概率微分。 f ( x)
的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以 f ( x) 的确描述了连续型随机变量的概率分布
的情况。
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但要注意的是：密度函数
f (x)
f (x)在某点处 a 的高度，
并不反映X 取值的概率.
但是，这个高度越大，
则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1 x
则称 F ( x) f ( x)dx
为连续型随机变量的分布函数
f (x)确定了 分布函数F(x)，
P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 )
P( x1 X x2 )
x2 x1
f
(
x)dx
F
(
x2
)
F(
x1
)
▲ P() 0 (不可能的事件的概率为0),但概率
为零的事不一定是不可能事件.
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2. 概率密度函数的性质
o
x
f ( x)x 在连续型
反映了概率集中在该点 随机型变量理论中所
附近的程度.
的作用与
P( X xk ) pk
在离散型随机变量理
论中所起的作用相类
似
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例1. 证明：函数 f ( x) 1 e x ( x ) 2
是一个连续型随机变量的概率密度函数.
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
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I [证]:
证法1
Q
X
xk
X
n1
xk
1 n
X
xk
让 “交”
往 xk方
向 “挤”
1
0
xk
xk n
1
P(X
xk
)
lim
n
P
(
X
xk
) n
P(X
xk )
x 1
x
lim n f ( x)dx f ( x)dx
n
x
x
f ( x)dx f ( x)dx 0
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证法2 任取x0 (, ), 并给x0以增量x
0 P( X x0 ) P( x0 X x0 x)
F ( x0 x) F ( x0 )
x0x f ( x)dx x0
当 x 0时， 两边取极限：
第四节 连续型随机变量及其概率密度
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负
函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
性质1 f ( x) 0
性质2
f ( x)dx 1
这两条性质是判定
一个函数 f(x)是否为某 随机变量X 的概率密度
函数的充要条件.
f (x) 面积为1
o
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x
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性质3
P( x1 X x2 ) F( x2 ) F( x1)
x2 f ( x)dx
x1
几何 X落在区间( x1, x2 ]的概率等于区间( x1, x2 ] 意义: 上曲线 f ( x) 之下的曲边梯计
0
x1 x2
x
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性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F( x)
0
P( X
x0 )
lim
x0
x0 x x0
f ( x)dx 0
P( X x0 ) 0
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这个结论的意义:
1. P( X x0 ) 0 从积分的几何意义上说，当底边缩 为一点时,曲边梯形面积退化为零.
2.由此可知连续型随机量X在某区间上取值的概率只 与区间长度有关,而与区间是闭,开,半开半闭无关, 即有:
(3)
P( X 100)
100
1
x
e 100dx
0 100
1 e 0.633
一般称: 若 X 具有概率密度:
f
(
x)
1
e
x
x0
0
0 x 0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
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二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x)
x
e 100dx
0
x
100e 100
0
100
1
(2)
100 P(50 X 150)
150
1
x
e 100dx
50 100
f
(x)
e
x 100
0
(1) 的值.
当x 0 当x 0
(2) 50 到 150 小时
x
e 100
150 50
0.384
202(概03/5/)率30少统于计100小时 北邮概率统计课件
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)
相当于线密度，故称 f (x)为概率密度函数。
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时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
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解: (1)
Q 1
f ( x)dx
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
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例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小