数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{
}
{}
11,022
<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M Y = ▲ .
2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .
3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .
4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .
5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .
6．若双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐
角为 ▲ .
7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，=，记三棱锥
BMN A -的体积为2V ，则
1
2
V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若
c a c
a b
B A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{
}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列
{}n a 的前n 项和n S = ▲ .
10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4
π
=
x 对称，则θ的最小正值．．．．
为 ▲ . 11．若存在．．
实数()4,0∈x ，使不等式01623
<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则AB
AC
的取 值范围是 ▲ .
13．设函数()x
b ax x x f 222
⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它
们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .
14．若圆()16:2
2
1=+-y m x C 与圆()16:2
2
2=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，
且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，
，cos 22x x n ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭r
，设()2f x m n =⋅-u r r ．
（1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；
（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；
（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．
17．（本小题满分14分）
如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的
4
1
圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．
），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设l
S
r f =
)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．
）．
18．（本小题满分16分）
如图，A 、B 为椭圆C ：12
22=+y a
x 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接
P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为2
1-
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；
（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．
19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．
（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；
（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；
（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．
20．（本小满分16分）
设函数x
e x x
f )
()(ϕ=
，)
(ln )(x x
x g ϕ=
，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2
)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；
（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；
（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，
0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥
⎦
⎤
-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.
B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，
（t 为参数）．以坐标原点为极
点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，
求直线l 被曲线C 截得的弦长．
C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）
已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是
31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，3
2
. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；
（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率
分布与数学期望.
23.（本小题满分10分）
设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）
中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.。