章末检测(三) 推理与证明 (时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2D ．不可类比解析：由条件知S 扇＝12lr .答案：C2．给出下列推理：①由A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，得点P 的轨迹为双曲线； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积为S ＝ab π； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 其中是归纳推理的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意知只有②是归纳推理． 答案：B3．设f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N ＋)，则f 2 011(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x 解析：由条件知f 0(x )＝cos x ， f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ，f 4(x )＝cos x ，…，故函数f (x )以4为周期循环出现，故f 2 011(x )＝sin x . 答案：A4．已知{}b n 为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{}a n 为等差数列，a 5＝2，则{}a n 的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积．答案：D5．奇数不能被2整除，32 010－1是奇数，所以32 010－1不能被2整除，上述推理() A．正确B．推理形式不正确C．错误，因为大前提错误D．错误，因为小前提错误解析：因为32 010－1是偶数，所以小前提错误．答案：D6．n个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2 009到2 011，箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 009到2 011为→↑，故选B.答案：B7．若0<a<1,0<b<1且a≠b，则在a＋b,2ab，a2＋b2和2ab中最大的是()A．a＋b B．2abC．a2＋b2D．2ab解析：因为0<a<1,0<b<1且a≠b，所以a＋b>2ab，a2＋b2>2ab，又0<a<1,0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b.答案：A8．将正整数排成下表：123 45678910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的数字2 010出现在( ) A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列D ．第45行第74列解析：第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 010,2 025>2 010，∴2 010在第45行．又2 025－2 010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 010在第89－15＝74列，故选D. 答案：D9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与 2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小， 只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 即比较0与12的大小，而0<12. 故P <Q 成立． 答案：C10．设f (x )＝1＋x 1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2 017(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x1－x解析：计算f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N ＋，从而f 2 017(x )＝1＋x1－x.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________. 解析：前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.答案：1 00012．根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.将△ABC 分割为三个小三角形△OAB 、△OAC 、△OBC ，其面积和为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r .类似地，设三棱锥S -ABC 的内切球半径为R ，球心为O ，连接OS 、OA 、OB 、OC ，将三棱锥分割为四个小三棱锥O -SAB ，O -SAC ，O -SBC ，O -ABC ，其体积和为三棱锥S -ABC 的体积，则V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝13S 表R . 答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的1313．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为______． 解析：∵a ≥0，b ≥0，∴a 1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2≤22·2a 2＋1＋b 22＝22×32＝324. 答案：32414．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4 α－8cos 2 α＋1；③cos 6α＝32cos 6 α－48cos 4 α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0. 对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962. 答案：962三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ca ≤13.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 又∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴将以上三个不等式相加，得： 2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . ∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝3(ab ＋bc ＋ca )， ∴ab ＋bc ＋ca ≤13.16．(10分)设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s <t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数； (2)求a 100.解析：(1)将前三行各数分别写成2t ＋2s 的形式： 第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22； 由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23； 第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数． 因此，a 100应当是第14行中的第9个数． 所以a 100＝214＋28＝16 640.17．(12分)已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 18．(12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明． 解析：(1)5＝3＋2，且 f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． 即g (3＋2)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． 于是猜测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2.∴g (x ＋y )＝a x ＋y －a－(x ＋y )2.g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝g (x ＋y )．即g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．由Ruize收集整理。