1 1 | | 令 C1： z | , C2： z 1| , 3 3
则 I
C1
f ( z ) dz
C2
f ( z ) d z (复合闭路定理)

C1
2z 1 2z 1 ( ) ( ) z 1 dz z C2 z 1 dz z
2z 1 2πi z 1 2z 1 2πi z z 0
解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。
一、柯西积分公式
注意 柯西积分公式中的区域 D 可以
是多连域。比如对于二连域 D,
其边界为 C C1 C 2 ，则
z
D C1
C2
z0
1 f ( z0 ) 2π i 1 2π i
1 则由柯西积分公式有 f ( z ) 2π i
C
f ( ) d , ( z D ) . z
d d2 1 2 又 [( z ) ] ( z ) , [( z )1 ] 2 ( z ) 3 , dz dz2
……
n! dn 1 ( n 1) , ( ) n! ( z ) n 1 n ( z ) dz z
f
( n)
n! ( z0 ) 2πi n! ( z0 ) | 2π
| z z | R
0 0
1
f (z) d z , (n 1 , 2 , ) . n 1 ( z z0 )
n! M | f ( z)| , ds n n 1 R1 | z z0 |
|f
( n)
(柯西积分公式)
4πi .
z 1
C
解 I
| z | 2
z ( ) 2 9 z dz . z ( i )

z i
3
0
2
3
i
z 2π i 9 z2
π . 5
试考虑积分路径为 | z | 4 的情况。
二、平均值公式
(连续函数的平均值)
定理 (平均值公式) 如果函数 f (z ) 在 | z z0 | R 内解析，
2i ez (e z )( n1) z 0 dz 1 z n ( n 1)! z 2i . ( n 1)!
例 计算 I
ez
| z | 2
( z 1)
2
2
dz .
i
C1
C
2
解 (1) 令f ( z )
ez
( z 1)
2 2

ez
(z i) (z i)
f ( z0 )
z z0

1 d z 2 π if ( z0 ). z z0
C
z0
D
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
z
D
z0
G
证明 如图，以 z0 为圆心， 为半径作圆 G，则
(思路)
(跳过?)
二、柯西不等式
定理
设函数 f (z ) 在 | z z0 | R 内解析，且| f ( z ) | M , 则
|f
( n)
n! M ( z0 ) | , (n 1 , 2 , ) . n R
(柯西不等式)
证明R1 : 0 R1 R ,
函数 f (z ) 在 | z z0 | R1 上解析，
1 左边 f ( z0 ) 2π i 1 右边 2π i
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | 1 | 右边 左边 | Γ | z z0 | ds , 2π
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式 二、平均值公式 三、最大模原理
分析：
设 z0 D, 若 f (z) 在D内解析，则
f ( z) f ( z) d z闭路变形原理 z z0 z z0 d z C z z0
f z f z0 0
证 (1) | f (0) |
1 2π f ( z 0 R e i ) d θ . 2π 0
三、最大模原理
定理 (最大模原理) 如果函数 f (z ) 在 D 内解析，且不为常数，
则在 D 内 | f ( z ) | 没有最大值。 证明 (略) 理解 如图，函数 f (z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
2 2
.
i
C2
如图，作 C1 , C2两个小圆， 则 I
C1
f ( z ) dz
C2
f ( z ) d z (复合闭路定理)

C1
dz ez dz 2 2 C2 ( z i )2 ( z i )2 (z i) (z i)
ez
记为
I1 I 2 .
例 计算 I 解 (2)I1
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
z
D
z0
G
证明 | 右边 左边 |
(思路)
| f ( z ) f ( z0 ) | 1 Γ | z z0 | ds , 2π
1 2πδ , (当 充分小时) 2π
zi
πi cos i
πi (e e 1 ) . 2
例 计算 解
| z | 1 z100 d z .
ez
2πi 2πi z 99 . dz (e ) z 0 99! 99!
ez
| z | 1 z100
ez 例 求积分 n dz . ( n 为整数) z z 1
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
即只要 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，
故等式成立。
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C D
z
z0 G
意义 将 z0 换成 z，积分变量 z 换成 ，则上式变为
f (z)
1 2π i
f ( ) C z d , ( z D) .
证明(略)
意义 解析函数的导数仍解析。 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于利用求导计算积分. f (z) 2πi ( n ) dz f ( z0 ) . 应用 反过来计算积分 C n 1 n! ( z z0 ) 推出一些理论结果。
解
| zi | 1
2π i cos z cos z dz 3 2! (z i)
根据柯西不等式有 | f ( z0 ) | 令 R , 即得 f ( z0 ) 0 , 由 z0 的任意性，知在全平面上有 f ( z ) 0 , 则 f (z ) 为一常数。
M , R
证(1) 任取正数 r 2 , (注意 f (z ) 在 | z | 2 上的性态不知道) 则函数 f (z ) 在 | z | r 内解析， 由高阶导数公式有
在 | z z0 | R 上连续， 则有
1 2π f ( z0 ) f ( z 0 R e i ) d θ . 2π 0
y
R C
z

z0
证明 由柯西积分公式有
f ( z0 )
1 f (z) | z z0 | R z z 0 d z 2π i
x
1 2 π f ( z0 R e i ) R e i i dθ 2πi 0 R e i
| z z | R
( n)
1
令 R1 R , 即得 | f
n! M ( z0 ) | , (n 1 , 2 , ) . n R
三、刘维尔定理
定理设函数 f (z ) 在全平面上解析且有界，则 f (z ) 为一常数。 证明 设 z0 为平面上任意一点，
R 0 , 函数 f (z ) 在 | z z0 | R 上解析，且 | f ( z ) | M ,
D

z0 G

z0
G

z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f (z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值， 则此函数必恒为常数。
推论 2 若 f (z ) 在有界区域 D 内解析，在 D 上连续，则 | f ( z ) | 在 D 的边界上必能达到最大值。
C
cos z dz , 其中 C 为： z
0
C1 1 2
C2
(1) C1 : | z | 1; (2) C2 : | z 2 | 1 . 解 (1) I
cos z dz z
2π i cos z
C1
在 | z | 1 上解析
z0
(柯西积分公式)
2πi .
(2) I
e 解 (1) n 0, n 在 z 1 上解析, z