数列知识点归纳(一)数列的概念 一.数列的概念1.数列是按一定顺序排列的一列数,记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2.数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出,则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3.数列可以看做定义域为*N (或其子集)的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值,它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法数列的表示方法有:列举法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示)。
三、数列的分类1. 按照数列的项数分:有穷数列、无穷数列。
2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分:有界数列、无界数列。
3. 从函数角度考虑分:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
递增数列的判断:比较f(n+1)与f(n)的大小 四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1.∑==++++=ni in n a a a a a S 1321 2.⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n(二)等差数列的相关知识点1.定义:)()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数。
当d>0时,递增数列,d<0时,递减数列,d=0时,常数数列。
2.通项公式:d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ,d =mn a a mn -- 是点列(n ,a n )所在直线的斜率. 3.前n 项的和:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。
4.等差中项:若a 、b 、c 等差数列,则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=26.性质:设{a n }是等差数列,公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列. (4) 若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121m m m m a S b T --=(5)n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项,即:当100a d ><,,解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>,,由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.7.n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元:三数:d a a d a +-,,, 四数:d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ,有nd S S =-奇偶 ,1+=n na a S S 偶奇项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇,1-=n n S S 偶奇. (三)等比数列(类比等差数列) 1、定义:1n na q a +=(q 为常数,0q ≠0,≠n a ), ,摆动数列当时时,数列递减且;且当时,数列递增且;且当0q 10100100101111<><<<><<<>>q a q a q a q a 2、通项公式:11-=n n q a a =(0,1≠q a )m n m n q a a -==3、前n 项和:()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(要注意q 的讨论)A Aq n-=4、等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G =),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++∙=n n n a a a (3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -= 6、性质:{}n a 是等比数列(1)若m n p q +=+,则mn p q a a a a =··(2)a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公比为 的等比数列.(3)232n n n n n S S S S S --,,……)0(≠n S 仍为等比数列,公比为nq . 7.n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元:三数:d a a d a ⋅,,/, 四数:d a d a d a d a 3,.,/,3/⋅⋅9.、.非零..常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) 10、正数列{n a }成等比,则数列)1}({log >a a na 成等差数列;若数列{n a }成等差,则数列}{n aa 成等比数列; 11.会从函数角度理解和处理数列问题.(四)、求通项1、形如 a n+1-a n =f(n) 形式,求法:累加法2、形如a n+1=a n ·f(n), 求法:累乘法3、形如a n+1=Aa n +B (A B ≠0), 求法:构造法4、形如a an n nmka 1-=+ (k ≠0)形式,求法:m=1时求倒数;另外可能周期数列或构造法5、已知S n ,求a n例1:已知数列{a n }中,a 1=1,na n =a 1+2a 2+3a 3+……(n-1)a n-1(n ≥2),求a n例2:已知数列{a n }中,a 1=1,对所有n ≥2,都有a 1a 2a 3……a n =n 2,求a n (五)数列求和的常用方法: 1、公式法:(等差、等比数列直接用公式)常用公式:①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n 2.等差数列的绝对值的和① 当a 1>0,d<0时,若a k ≥0,a k+1<0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |= ② 当a 1<0,d>0时,若a k ≤0,a k+1>0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |=3、分组求和法:1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- (答:(1)n n -⋅)4、倒序相加法:求证:01235(21)(1)2n nn n n n C C C n C n +++++=+5.裂项相消求和,常见类型==∙-==++=++=+-=+++-aa C C Cnn mnm n m nn n n n n n n n n k n n 111log !11)2)(1(1)12)(12(1)(16.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是各项不为0的等比数列。
.(六). 等比数列的前n 项和公式的常见应用题:⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为a ,年增长率为r ,则每年的产量成等比数列,公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ,且过n 年后总产量为:.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存a 元,利息为r ,每月利息按复利计算,则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此,第二年年初可存款:)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为a 元;m 为m 个月将款全部付清;r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a 。