2015届高考数学一轮复习单元检测：集合
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，xy ∈A }，则B 的所有真子集的个数为( )
A ．512
B ．256
C ．255
D ．254
解析：由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．
答案：C
2．设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )＝( )
A ．{1,4}
B ．{1,5}
C ．{2,4}
D ．{2,5}
解析：∵U ＝{1,2,3,4,5，}，A ∪B ＝{1,3,5}，
∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．
答案：C
3．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．0或1
D ．以上答案都不对
解析：分情况k ＝0和k ≠0.
答案：C
4．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B 等于( )
A ．{(1,2)}
B ．(2,1)
C ．{(2,1)}
D ．∅
解析：A ∩B 是点集，即满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1的解．
答案：C
5．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．(∁U M )∪(∁U N )
D ．(∁U M )∩(∁U N )
答案：D
6．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )
A ．{a |3<a ≤4}
B ．{a |3≤a ≤4}
C ．{a |3<a <4}
D ．∅
解析：⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，
5≤a ＋2⇒3≤a ≤4.
答案：B
7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪∁U B 等于( )
A ．{x |x <－1或x >0}
B ．{x |x <－1或x >1}
C ．{x |x <－2或x >1}
D ．{x |x <－2或x ≥0}
解析：∁U B ＝{x |x <－1或x >0}，
∴A ∪∁U B ＝{x |x <－1或x >0}．
答案：A
8．（2014·惠州模拟）已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x <1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁
R M )＝( )
A. (1,2)
B. [0,2]
C. ∅
D. [1,2] 解析：因为M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x <1＝{x |x >2或x <0}，∁R M ＝[0,2]，N ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋
∞)，故N ∩(∁R M )＝[0,2].
答案：B
二、填空题(每题5分，共30分)
9．设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合{x |x ∈A ，且x ∉A ∩B }＝________. 解析：A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >3或x <1}，A ∩B ＝{x |3<x <4或－4<x <1}， ∴{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．
答案：{x |1≤x ≤3}
10．设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝________.
答案：{1,3,5}
11．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________．
解析：A 的子集共有26＝64个，而{1,2,3}的子集共23＝8个，这8个均不满足S ∩B ≠∅的条件，所以满足条件的S 共有64－8＝56个．
答案：56个
12．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1,2)∈A ∩B ，则a ＝________，b ＝__________.
解析：∵(1,2)∈A ∩B .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73
. 答案：53 73
13．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则M 与N 的关系是________．
解析：任取x ∈M ，则x ＝k 2＋14＝2k ＋14＝2k －14＋12∈N ，而12∈N ，而12
∉M ，∴M N . 答案：M N
14．某中小城市1 000户居民中，有彩电的有819户，有空调的有682户，彩电和空调二者都有的有535户，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：如图，有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．
答案：966
三、解答题(共80分)
15．(12分)A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .
解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．
当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1,2}，
∴2a ＝1或2a
＝2，从而a ＝1或a ＝2， 故集合C ＝{0,1，2}．
16．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.
(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；
解析：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，
(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}
＝{x |7≤x ＜10}．
(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
解析：(2)当a ＞1时，满足A ∩C ≠∅.
因此a 的取值范围是(1，＋∞)．
17.(14分)已知集合A ＝{x |x <－1或x ≥1}，非空集合B ＝{x |(x －a －1)(x －2a )<0}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
解析：B ≠∅，且B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1<2a ，2a ≤－1或a ＋1≥1
或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>2a ，a ＋1≤－1或2a ≥1.
解得a >1或a ≤－2或12
≤a <1. ∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ＞1或a ≤－2或12≤a ＜1.
18．(14分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．
(1)若a ＝1，求A ∩B ；
解析：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}．B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}.
∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．
(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．
解析：(2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}．B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3.
∴所求实数a 的取值范围是(1,3).
19.(14分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x －8＝0}，求a取何值时，A∩B≠∅与A∩C＝∅同时成立．
解析：∵B＝{2,3}，C＝{2，－4}，
由A∩B≠∅且A∩C＝∅知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，
∴a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5，
当a＝－2时，A＝{3，－5}，适合A∩B≠∅与A∩C＝∅同时成立，
当a＝5时，A＝{2,3}，A∩C＝{2}≠∅，故舍去．
所求a的值为－2.
20．(14分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a21，a22，a23，a24}满足：
(1)A∩B＝{a1，a4}；
(2)a1＋a4＝10；
(3)a1<a2<a3<a4；
(4)A与B的所有元素之和为124.
求a1，a2，a3，a4.
解析：∵a1，a2，a3，a4∈N*，∴a21≥a1，由A∩B＝{a1，a4}，必有a21＝a1，即a1＝1，而由a1＋a4＝10得a4＝9，此时B＝{1，a22，a23，81}，由A∩B＝{1,9}可知a22＝9或a23＝9，可得a2＝3或a3＝3.
(1)若a2＝3，则3<a3<9，由所有元素之和为124可得a3＝4.
(2)若a3＝3，则a2＝2，此时所有元素之和为110≠124，不合题意．
综上，即得a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝9.。