高二数学单元试题1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++=D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ．15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．z yxSB CDADPBACE16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是︒60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为三．解答题（本大题6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值． 18．（本小题满分12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）cos 1,CB EF ． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.（1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ．20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12．（1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ；z FE D 1C 1B 1A 1DCBA（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小22．（本小题满分14分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.空间向量答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DADCBAADCCCB二．填空题 13．51、21． 14．60° 15． 90° 16． 6三．解答题（本大题6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．解：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)(2)∵ → AB 1 ＝(0, -2, 2)，→ ED 1 ＝(0, 1, 2) ∴ |→ AB 1 |＝22 ，|→ED 1 |＝5 ，→ AB 1 ·→ED 1 ＝0－2＋4＝2,∴ cos 〈→ AB 1 ，→ ED 1 〉 ＝ → AB 1 ·→ ED 1 |→ AB 1 |·|→ED 1 | ＝ 222×5＝ 1010 ．∴ AB 1与ED 1所z ySBC成的角的余弦值为1010．18．（本小题满分12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）cos 1,CB EF ．解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D （0，0，0），A （1，0，0），1D （0，0，1）， E （1，1，21），F （0，21，0），则F D 1＝（0，21，－1），A D ＝（1，0，0），AE ＝（0，1，21）， 则DA F D ⋅1＝0，AE F D ⋅1＝0， DA F D ⊥∴1，AE F D ⊥1.⊥∴F D 1平面ADE.（２）1B （1，1，1），C （0，1，0），故1CB ＝（1，0，1），EF ＝（－1，－21，－21），1CB EF ⋅∴＝－1＋0－21＝－23， 2341411=++=EF ，21=CB ，则cos 2322323,111-=⋅-=⋅⋅=CB EF CB EF CB EF . 150,1=CB EF19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ． 解：解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设.DC a = (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G .连结EG . 依题意得(,0,0),(0,0,),(0,,)22a a A a P a E底面ABCD 是正方形， G ∴是此正方形的中心，故点G 的坐标为(,,0)22a a且(,0,),(,0,).22a a PA a a EG =-=-2PA EG ∴=. 这表明EG PA ∥. 而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，PA ∴∥平面EDB 。

(2)证明：依题意得(,,0),(,,)B a a PB a a a =-。

又(0,,),22a aDE =故022022=-+=⋅a a DE PBPB DE ∴⊥, 由已知EF PB ⊥，且,EF DE E =所以PB ⊥平面EFD.20．（本小题满分12分）z y xFE D 1C 1B 1A 1D CBA如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12．（1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦． 解： （1 （221．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小（1）证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.（2）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ， 则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒=== 从而 ,33tan ==GH EG θ .30︒=θ22．（本小题满分14分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.解：（1）(2,1,4)(1,2,1)2(2)40AP AB ⋅=--⋅--=-+-+= AP AB AP AB ⇒⊥⊥即(1,2,1)(4,2,0)4400AP AD ⋅=--⋅=-++=AP AD PA AD AD ABCD⇒⊥⊥∴⊥即面（2）()48,AB AD AP AB AD ⨯⋅=⋅=又cos V ＝1sin 163AB AD AB AD AP ⋅⋅⋅⋅= 猜测：()AB AD AP ⨯⋅在几何上可表示以AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP 为棱的四棱柱的体积）。