第二章：有理数及其运算一、有理数知识点一：具有相反意义的量（用正数和负数表示，负数的来源）如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”。

由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。

我们可以把其中一个量规定为正的，用正“+” 数表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负“-”数表示。

如：零上20°C 记作+20°C ，零下17°C 就记作 -17°C如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作-12圈 因为是量，表示时需要带着单位名称，如圈、元。

知识点二：正数和负数的概念正数：像1、2.5、143、23这样大于0的数叫做正数；为了突出数的符号，可以在正数前加“+” 号。

如：+3、+5.6 ，有时也可省略“+”号 如：1、2.5、143 负数：像-5、-10、-2.3等在正数前面加上“－”号的数叫做负数，负数前面的“-”号不能省略。

由此看出，比0小的是负数，负数比0小。

0即不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。

正数比0大，负数比0小。

复习小学内容：质数：一个数只有1和它本身两个因数时，这个数是质数也称为素数。

如2、3、5、7、11、13、17、19等合数：一个数除了1和它本身两个因数外还有其他的因数，这个数就是合数。

如4、6、8、9、10、12、14、15等质数和合数都是指一个大于1的自然数中的数，所以，0和1既不是质数也不是合数。

除了2 其余的质数都是奇数再复习一下奇数和偶数偶数：整数中能够被2整除的数，叫做偶数，奇数：整数中不能被2整除的数，叫做奇数。

知识点三：有理数有理数概念：整数和分数统称为有理数。

整数：正整数、零、负整数统称为整数分数：正分数和负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数 。

0.5=21 ；0.875=87 。

这些都是有限小数，化成了分数。

0..3=31 ；0..12.3=999123 ；0.1.2.3=99991123-- ；0.12.3=9999912123-- 上述都是无限循环的小数，也化成了分数。

小学学过的圆周率π，其值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375…它是无限不循环的小数，它不是有理数，是八上实数中我们学到的无理数有理数的分类：（在前章学习了分类思想，关于几何体的分类）（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：有理数的“四非”有理数“四非”⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0000非负整数：正整数和非正整数：负整数和非负数：正数和非正数：负数和 注意上述“四非”，一定记住都包括着零。

注意断句：非负/整数，首先是整数，其次是不是负的，那就是正的和0。

而不是非/负整数，错误理解成正整数、0和分数了。

0 既不是正数也不是负数。

0是整数，是自然数，是偶数，是有理数。

二、数轴:知识点一：数轴1、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

数轴就是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素注意：1）、约定成俗的规定向右的方向为正方向，向左就扣分。

2）、是单位长度，就是自己规定的一段长度作为单位长度，而不是长度单位。

2、数轴的画法：1）、画一条直线2）、直线上选取一点为原点，并用这点表示零3）、确定正方向，一般规定向右，用箭头标示出来。

4）、选取某一长度作为单位长度，根据实际情况选取，但长短一致。

3、数轴上的点与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不能说数轴上所有的点都表示的是有理数）。

正有理数可以用原点右侧的点表示，负有理数可以用原点左侧的点表示。

原点用零表示。

知识点二：利用数轴比较有理数的大小（1）在数轴上的所表示的数，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

利用这点，比较有理数的大小三、绝对值知识点一：相反数1、相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0越来越大 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0个数互为相反数。

特别地，0的相反数是0。

这也是相反数的代数定义。

注意：1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能把它漏掉。

2）相反数是成对出现的，不能单独存在。

3）“只有符号不同”中的只有是指除了符号不同，其余相同。

不能理解为“只要符号不同”。

如-2与+3不是相反数。

2、相反数的几何定义：在数轴上位于原点的两侧，与原点的距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

3、相反数的表示方法：表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添加一个“-”号即可。

如6的相反数是-6，-6的相反数可以表示为-（-6）一般地，数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个数，可以是正数、负数、0。

注意：1）表示“和”或者“差”形式的相反数时，要先用括号括上，再在括号前面添上一个“-”号。

如a+b 的相反数是-（a+b ）2）因为a 可以表示任意一个数，所以，-a 不一定是负数。

知识点二：绝对值1、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值用a 表示一个数，则a 的绝对值记作|a|，读作“a 的绝对值”。

因为距离都是0或者正数，所以，+3的绝对值等于3，记作|+3|=3-3的绝对值等于3，记作|-3|=3表示0的点与原点的距离是0，所以|0|=02、一个数的绝对值与这个数的关系（也就是绝对值的代数意义）：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a 书写：|a| = ±a 是错误的！ 3、绝对值归纳总结：1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。

离原点的距离越远，绝对值越大。

由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数，因此，绝对值最小的有理数是零。

2）绝对值非常重要的性质：绝对值的非负性。

任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0。

3）互为相反数的两个数绝对值相等；反之，特别注意：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。

4）任何数都有唯一的绝对值，但绝对值为某一正数的数有两个，且他们互为相反数。

如：绝对值为4的数是+4或-4。

字母表示式：若|a|=|b|，则a=±b5)若几个非负数之和为0，则每个加数分别为0。

若|a|+|b|+|c|=0，则|a|=|b|=|c|=0，即a=b=c=0。

这个关系很重要，期中考试一定有。

绝对值知识拓展：|x|几何意义是x 表示的点到原点0的距离|x-1|几何意义呢？代表x 到哪个点距离呢？推导：|x|=|x-0| 是x 表示的点到0的距离|x-1| 是x表示的点到1的距离|x-5| 是x表示的点到5的距离|x+5| 是x表示的点到-5的距离后面一系列都用到这个几何意义：|x-y|就是x表示的点到y表示的点的距离|x+y|就是x表示的点到-y表示的点的距离知识点三：比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

（也可以用数轴比较：右边的数大于左边的数）因为对于两个负数，他们都位于原点的左侧，因为绝对值大的距离原点越远，而在数轴上，右边的数总是大于左边的数，所以，对于两个负数，绝对值大的反而小。

由此看出先看绝对值的大小，再确定负数的大小。

如果负数里有分数，则要先通分再比较。

比较两个数的大小，最直观的比较就是把这些数表示在数轴上，右边的总大于左边的。

四，有理数的混合运算1、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。

2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数）注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b中的减号也可看成负号，看作a与b的相反数的和：a+（-b）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个数的相反数。

3、有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和。

在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法法则，加法交换律、结合律简化计算。

（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。

）※注意：运算结果一般写成假分数形式4、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba ；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac 。

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a 和b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。

（分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。

假分数通常可以化为带分数或整数。

如果分子和分母成倍数关系，就可化为整数，如不是倍数关系，则化为带分数）有一个数和它的倒数相等，这个数是1和-1 即 ±1注意：①正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

②零没有倒数。

③求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。

一个带分数要先化成假分数。

4、有理数的除法有理数的除法法则：1）、两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个非0的数都等于0；2）、这个法则可以把除法转化为乘法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数。

0不能做除数。

a ÷b= a ×b1( b ≠0)5、有理数的乘方（1）有理数的乘方的定义：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“n a ”其中a 叫做底数，表示相同的因数，n 叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n 个a 相乘，不是n 乘以a ，乘方的结果叫做幂。