华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案
2009学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ
一、1、0.6，0.3 2、 3 3、2
n
σ 4、10.083312= 5、(1,1)F n - 6、1。

二、1、D 2、A 3、C 4、B 5、A 6、 C 三、解 令1A 表示事件“甲在第一次射击中射中”， 1B 表示事件“乙在第一次射击中射中”。

依题意
()()
()()
1111110.8,0.2,0.5,0.6P A P A P B A
P B A ==== （3分）
（1）()()()()()
1111111P B P A P B A P A P B A =+
0.80.50.20.60.52=⨯+⨯= （6分）
（2）()()()1111110.80.510
|()
0.5213
P A P B A P A B P B ⨯=
=
= （10分）
四、
解 令X 表示取到正品之前已经取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2。

（1分）
8{0}10P X ==， 288
{1}10945P X ==⋅=，
2181
{2}109845
P X ==⋅⋅=，
所以X
（4分）
所以
8812
0121045459EX =⨯+⨯+⨯=， （6分）
22228814
01210454515
EX =⨯+⨯+⨯=， （8分）
224488
()1581405
DX EX EX =-=-=。

（10分）
五、解 方法1 ln Y X =的分布函数为
(){}{ln }{}()y y Y X F y P Y y P X y P X e F e =<=<=<=，
即 ()()y Y X F y F e =。

（4分）
()()()y y Y Y X f y F y e f e '∴== （6分）
22(1)
y
y
e e π=+。

（8分） 方法2 因为ln y x =为严格单调函数，且其反函数y x e =有连续导数，于是所求
密度函数为
'22
()()()|()|(1)
y y y Y Y x y
f y F y f e e e e π'==⋅=
⋅+。

（8分）
六、解（1）由已知条件知：()(),()()()P A P B P AB P A P B ==，则
23
()()()()2()[()]4
P A B P A P B P AB P A P A =+-=-=
（4分） 由此得
1()2
P A =。

又
3220
31()()1882
a
a P X a f x dx x dx +∞>===-=⎰
⎰
于是得
a = （6分）
（2）222201133
()84
E x dx X x =⋅=⎰ （10分）
七、解 （1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞
=⎰
（1分）
当0x <时，
(,)0f x y =，从而()X f x ＝0; （2分）
当0x ≥时,
0340
()(,)012x y X f x f x y dy dy e dy +∞
+∞
---∞
-∞
==+⎰
⎰⎰
34303[]3x y x e e e --+∞
-=-= （4分）
所以，33,0
()0,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩。

（ 5分）
类似地，可求得
44,0()0,
0y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩。

（8分）
（2）由（1）求出的两个边缘密度函数的表达式可知，对于一切x ，y ，有
(,)()()X Y f x y f x f y =，
所以X 与Y 相互独立。

（10分） （3）21
00
{01,02}(,)P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰
⎰
()()2
10
()()Y X
f y dy
f x dx =
⎰
⎰
()()21
4300
43y
x
e dy e dx --=⎰⎰ ()()2
1
438
30
(1)(1)y x e e e
e ----=--=--。

（14分）
八、解 本问题是在0.05α=下检验假设
0010:1000,:1000,H H μμμμ==<= （2分）
由于2σ已知，所以在0H
成立的条件下，可选择统计量(0,1)X U N =
，
其观测值为
2.5u =
=-,
且此问题的拒绝域为0.05 1.65u u =
<-=-, （8分）
这里 2.5 1.65u =-<-，说明检验统计量的值落在拒绝域中，从而拒绝0H ，即认为这批元件不合格。

（10分）
九、解 设所求回归方程为 01y x ββ=+ （1分） 由已知得
10
1
2
10
2
2
1
1001506500105000,
10101002000101000,
10xy i i i xx i
i L x y nx y L x nx ==⎛⎫⎛⎫
=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭∑∑ 从而
1
5000
ˆ51000
xy xx
L L β==
=， （5分） 01
ˆ1551035,y x ββ=-=-⨯=- （7分） 所以 ˆ355y
x =-+为所求方程。

（8分）。