【基本要求】掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些不等式。

【重点】基本不等式的及其证明。

【难点】用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。

【知识精要】1、 基本不等式若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 均值不等式：若a 、b 为正数，则2a bab +≥a b =时取等号 变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n 个正数的算术平均数，12nn a a a ⋅⋅⋅ 称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++ ≥12nn a a a ⋅⋅⋅ ，当且仅当12n a a a === 时等号成立。

利用不等式求最值：（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。

2、 不等式的证明比较法：要证明a b >，只需要证明0a b ->。

分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够肯定这些条件都已成立，那么可以断定原不等式成立。

综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的不等式为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式。

1、基本不等式1、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）ab ba ≥+2； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b（5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（ （2）（3）（6）（7）2、若1,1,,a b a b >>≠且则22,2,2,a b ab ab a b ++中值最小的是2ab3、设0a b<<，1a b +=，比较下列四个数的大小关系2222,,2,b a b a ab b ++_____22222ab a b a b b <+<+________。

4、不等式2≥+baa b 成立的充要条件是___ 0ab >_____ 5、已知0a >，0b >，4a b +=，则下列各式中正确的是（ C ）（A ）1a b ≤+41 （B ）1a b≥+ 1 （C ab ≤2 （D ab ≥1 6、若正数b a ,满足2=ab ，则≥+22b a 4 ，≥+b a 227、若a R b ∈,，且2,=+≠b a b a ，则2,,122b a ab +的大小关系为 222a b +8、不等式2a b ab +> D ）A ．a R b ∈, B. a ,b R +∈C.a Rb ∈,,且b a ≠ D. a ,b R +∈,且b a ≠9、若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是2 ，最小值是 2-10、若a ,b R +∈，且2222a b +=，则21a b +的最大值是3211、已知正数,a b 满足4a b +≤，则下列各式中，恒成立的是（ B ）A ．112ab ≥ B ．111a b +≥ C 2ab ≥ D ．22114a b ≤+ 12、如果0a b >>，那么下列各式中正确的是（ A ）A ．2a b a ab b +>>> B ．2a ba ab b +>>> C ．2a b a b ab +>>> D ．2a bab a b +>>> 13、如果b a ,为实数，且0>ab ，那么下列各式中正确的是（ B ）A 、≥+b a ab 2B 、2≥+abb a C 、abb a 211≥+ D 、ab b a 222>+ 14、若a 、b 是正数，则2a b +ab 2ab a b +222a b +这四个数的大小顺序是（ C ）ab 2a b +≤2ab a b +222a b +222a b +ab 2a b +≤2ab a b +C.2ab a b +ab 2a b +222a b + ab 2a b +222a b +≤2ab a b +15、若+∈R x ，则xx 212+有最 小 值，且值为 116、若32>x ，则x x 326--的最小值为 22317、若+∈R y x ,，1x y +=，则yx 11+的最小值是 4 18、已知x 为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ D ）A 0122>++x xB 21≥+xx C 4422>+xx D 12222+≥+x x 19、下列不等式一定成立的是 （ D ）A xy y x 2≥+B xy y x 2≥+C xy y x 2≥+D xyy x 2≥+20、设0,x >则2352x x--的最大值是3533-21、设21,2x x R x++∈有最小值，且此最值为122、若13,3a a a >+-有最小值，是5，此时a =4 23、若长方形面积为S ，则其周长的最小值为4S24、设12x >，则821x x +-的最小值为9225、设220,0,12y x y x ≥≥+=，则21y +3226、设,,,a b c R +∈则b c c a a b a b c+++++的最小值是6 27、代数式)214x xx R -∈的最大值是1428、若1<x ，则1322-+-x x x 有最 大 值，且值为 22-29、设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ A ）（A ）a b +有最小值)12(2+ （B ）a b +有最大值2)12(+ （C ）ab 有最大值12+ （D ）ab 有最小值)12(2+30、当1x <时，有()222411x x a a x -++≤-≠--成立，且当0x x =时等号成立，则a =3，0x =1-31、设,,x y R +∈且4x y +=，则使得不等式14k x y+≥恒成立的实数k 的取值范围是9(,4-∞32、已知不等式1|2|2x a x+>对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是2a 33x y x y ≤+,x y R +∈都成立，则k 的最小值为234、已知,x R +∈由不等式221442,3,,22x x x x x x x+≥+≥++≥ 启发我们可以得出推广结论：()*1,n a x n n N x+≥+∈则a =nn35、已知,,a b R ∈且0ab >，则代数式22a b ab+的最值为（是否有最值？最大还是最小值）【有最小值，无最大值】 36、若01,x <<则491y x x=+-的最小值为25 37、设,,4,a R b R a b ++∈∈+=则下列不等式中恒成立的是()B()()(()221111111224A B C ab D ab a ba b ≥+≥≥≤+38、若12120,0,a a b b <<<<且12121a a b b +=+=，则下列代数式值最大的是()A()()()()11221212122112A a b a bB a a b bC a b a bD +++ 39、设0,0,x y >>且21x y +=，求11x y+的最小值。

22322,212x y ⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭当时取得 40、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）2540010400v v ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭小时2、不等式的证明1、已知b a ,0>，求证411)((≥++ba b a2、已知1,0,0>+>>y x y x ，求证911)(11(≥++yx3、已知()21xf x x=+且1201,x x <<<求证：()()21.f x f x >4、设函数()221,1x f x x -=+求证：对于任意不小于3的自然数n 都有()1n f n n >+.()()()2221111n n n f n n n n ⎛⎫-- ⎪-= ⎪+++⎝⎭5、已知0,n >求证：22 1.n n n>+ 提示： 原不等式(2212210n n n n ⎛⇔>+⇔> ⎝6、设,αβ是房产230x ax ++=的两个实数根，且||||4αβ+<，求实数a 的取值范围(4,23][23,4)a ∈-7、已知,a b 是两个不相等的正数，且3322,a b a b -=-求证413a b <+<（提示：利用22a b a ab b +=++）8、已知0,0a b ≥≥，求证：3322a b a b b a +≥+9、已知,,,a b x y 是正数，1a b +=，求证：()()ax by ay bx xy ++≥10、已知,,,a b c R +∈求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 提示：左边=111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b c a c a ba b c +++=⋅⋅8≥11、已知,a b R ∈，且||1a <，若||11a bab+<+，求b 的取值范围 ||1b <12、已知,,a b c 是实数，1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥3、 综合题1、已知,x y R +∈，4x y +=，求22log log x y +的最大值。

22、已知,,,a b x y R +∈，且1a bx y+=，求x y +的最小值。

2a b ab ++3、求证：()()*222111135421n N n +++<∈+ 提示：()()22111111441414121k k k k k k k ⎛⎫=<=- ⎪++++⎝⎭+。