反比例函数
一、基础知识
1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

x
k
y =
k o k ≠(自变量的取值: )x o x ≠2.反比例函数的等价形式：
① （ ） ②() ③xy=k()
x
k
y =o k ≠kx y =1-o k ≠o k ≠3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法
①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像:
①反比例函数的图像是双曲线，由两条曲线组成。

②双曲线永远不与坐标轴相交，但无限靠近坐标轴。

③反比例函数的图像是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对x y =x y -=称图形（原点）。

4．反比例函数性质如下表：
的取值k 图像所在象限
函数的增减性o
k >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y x o k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大
y x 5. 反比例函数解析式的确定：①利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一
个点的坐标即可求出）②的几何意义。

k k 6．反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线
x k y =0≠k k x k
y =（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

0≠k x y k
7. 反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的
2
22
-+=k k kx y 值是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即x
k y =
0≠k kx y =（）又在第二，四象限内，则可以求出的值1
-0≠k 0<k 【答案】由反比例函数的定义，得：
解得⎩⎨⎧<-=-+01222k k k ⎪⎩⎪⎨⎧<=
-=02
11k k k 或1
-=∴k 时函数为1-=∴k 222-+=k k kx y x
y 1
-
=【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，，
x y 1
-=(1x )1y (2x )2y (3x )3y 。

若则下列各式正确的是（ ）
3210x x x >>>A ． B ． C ． D ． 213y y y >>123y y y >>321y y y >>231y y y >>【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得，，111x y -
=221x y -=3
31x y -=，所以选A
3210x x x >>> 213y y y >>∴解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像
x
y 1
-=描出三个点，满足观察图像直接得到选A
3210x x x >>>213y y y >>
解法三：用特殊值法
2
133********,1,1,2
1
1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令 【例3】如果一次函数相交于点()
与反比例函数x
m
n y m n mx y -=≠+=30（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）22
1
【解析】
⎩⎨
⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132
212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==+=∴2
21111121,122211
y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为()
11--∴，另一个点为【例4】 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象AOB Rt ∆A m x y +=x
m
y =
限的交点，且，则的值是_____.
2=∆AOB S m 图
解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.m x y +=x
m
y =A A ()A A y x , 则有.所以.A
A A A x m
y m x y =
+=,A A y x m = 又点在第一象限,所以.A A A A A y y AB x x OB ====, 所以.而已知.m y x AB OB S A A AOB 2
1
2121==∙=∆2=∆AOB S 所以.
4=m 三、练习题
A
B
C
D
1.反比例函数的图像位于（ ）
x
y 2
-=A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限
2.若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）
y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定
3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（ y x ）
4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A 、不小于m 3
B 、小于m 3
C 、不小于m 3
D 、小于
m 3
545445
45
5．如图 ，A 、C 是函数的图象上的任意两点，过A 作x
y 1
=
轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记
x RtΔAOB 的面积为S 1，RtΔCOD 的面积为S 2则 （ ）A ．S 1 ＞S 2 B ． S 1 <S 2
C ． S 1=S 2
D ． S 1与S 2的大小关系不能确定
6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=
的图象都经过点A （-1
n x
+2，
1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；
（3
）△AOB 的面积．
7. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于k
x A 、B 两点，与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为
（，m ）
．1
2（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．
8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q （m 3），那么将满池水排空所需的时间t （h ）将如何变化？
（3）写出t 与Q 的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m 3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.
（1）请写出y 关于x 的函数关系式；
（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？
10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数
的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

m
y x
=
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB 的面积。

四、课后作业
1．对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）x
y 2
=
A ．点（）在它的图像上 1,2--
B ．它的图像在第一、三象限
C ．当时，0>x 的增大而增大随x y
D ．当时，0<x 的增大而减小随x y 2.已知反比例函数的图象经过点（1，-2）
，则这个函数的图象一定()0k
y k x
=≠经过（ ）
A 、（2，1）
B 、（2，-1）
C 、（2，4）
D 、（-1，-2）
3．在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么
x k y 1=x
k
y 2=和的关系一定是（ ）
1k 2k A. +=0 B. ·<0 C. ·>0 D.=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2
k 4. 反比例函数y ＝的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________．
k
x 5. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝的图象上，则m ＝__________．1
x 6. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________．
7. 已知反比例函数的图象上两点，当时，
x
m
y 21-=()()2211,,,y x B y x A 210x x <<有，则的取值范围是？
21y y <m 8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：
(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值；　(3)y ＝-2时，x 的值。

9. 已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增3=b x
b
y +=
1y x
大,如果点在双曲线上，求a 是多少？()3,a x
b
y +=
1。