最新初中数学几何综合题及答案1、已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．解:（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．2、半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线L的同侧，⊙O与L相切于点F，DC在L上.（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点.①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置．．．．，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G 处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：△ABG∽△BFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．解：（1）不是．据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED，∴AE＜ED，故，点E不可以是AD的中点；（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）（2）方法一：证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形．∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，∴∠BAG=∠FBE，…5分∴△ABG∽△BFE，方法二：∠ABG=∠EFB（见方法一），证得两边对应成比例：，由此可得出结论．（3）①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC，证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，∴，即，∴a2+b2=ac；…8分方法二：如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形EFCD为平行四边形∴EF∥DC，∴∠C=∠EFB，∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，∴，∴，∴a2+b2=ac；方法三：证明△ABD∽△GFB，则有，∴，则有BF=，∵四边形EFCD为平行四边形，∴FC=ED=c﹣，∵ED∥BC，∴△EDG∽△FBG，∴，∴，∴a2+b2=ac；…8分方法一②：解关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0，得：a1=，a2=由题意，△=0，即c2﹣16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；方法二：设关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0两根为a1，a2，a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，∴a1＞0，a2＞0，…9分由题意，△=0，即c2﹣16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2，…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．4、如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．图1Z O YXC BAP 1（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心O ；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙的面积为s ，你认为能否确定s 的最大值？若能，请你求出s 的最大值;若不能,请你说明不能确定s 的最大值的理由．解：(1看见垂足为Y （X ）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC 的平分线)即评1分，(2)①当⊙P 与Rt △ABC 的边 AB 和BC 相切时，由角平分线的性质，动点P 是∠ABC 的平分线BM 上的点.如图1，在∠ABC 的平分线BM 上任意确定点P 1 (不为∠ABC 的顶点)，∵ OX ＝BOsin ∠ABM, P 1Z ＝BP 1sin ∠ABM ．当 BP 1＞BO 时 ，P 1Z ＞OX,即P 与B 的距离越大，⊙P 的面积越大． 这时，BM 与AC 的交点P 是符合题意的、BP 长度最大的点. 如图2，∵∠BPA ＞90°，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则E 在边AB 上.∴以P 为圆心、PC 为半径作圆，则⊙P 与边CB 相切于C ，与边第23题图2图1YXC BC AA图2E图3DA AB 相切于E ，即这时的⊙P 是符合题意的圆. 这时⊙P 的面积就是S 的最大值.∵∠A ＝∠A ，∠BCA ＝∠AEP ＝90°,∴ Rt △ABC ∽Rt △APE ， ∴BCPEAB PA =. ∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB ＝5.设PC ＝x ，则PA ＝AC －PC ＝1－x, PC ＝PE ，∴251x x =-， ∴x ＝522+ ． ②如图3，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时，设PC ＝y ，则152y y =-， ∴y=512+. （7分）21世纪教育网③如图4，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF ＝z ，则122z z =-， ∴z=32. （8分） 由①，②，③可知：∵ 5 ＞2，∴ 5＋2＞5＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大， (或者:∵x=522+=25-4, y=512+ =215- 5,∴y-x=24549->0, ∴y>x. ∵z-y=645721532-=-->0)∴52251232+>+>2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z ＞y ＞x. ∴⊙P 的面积S 的最大值为π94.5、如图①，P 是△ABC 边AC 上的动点，以P 为顶点作矩形PDEF ，顶点D,E 在边BC 上，顶点F 在边AB 上；△ABC 的底边BC 及BC 上的高的长分别为a , h,且是关于x 的一元二次方程20mx nx k ++=的两个实数根，设过D,E,F 三点的⊙O 的面积为O S ๏,矩形PDEF 的面积为PDEF S 矩形。

（1）求证：以a+h 为边长的正方形面积与以a 、h 为边长的矩形面积之比不小于4； （2）求O PDEFS S ๏矩形的最小值；（3）当O PDEFS S ๏矩形的值最小时，过点A 作BC 的平行线交直线BP 与Q ，这时线段AQ 的长与m , n , k 的取值是否有关？请说明理由。

解：解法一：（1）据题意，∵a+h =mk h a mn =⋅-,.∴所求正方形与矩形的面积之比：图①ABPF （供画图参考） 图②AC BM（第23题）GO QEDFBCAPNha h a ⋅+2)(mk n mk m n 22)(=-=,4,0422mk n mk n ≥∴≥- 由mkah =知k m ,同号, 0>∴mk,442=≥∴mkmk mk n 即正方形与矩形的面积之比不小于4.（2）∵∠FED =90º,∴DF 为⊙O 的直径.∴⊙O 的面积为：2222()()244ODF DF SEF DE πππ===+．矩形PDEF 的面积：PDEF S EF DE =⋅矩形．∴面积之比：(),4OS EFDE DE EFπ=+矩形PDEF设,f DE EF =1=()4OSf fπ+矩形PDEF222111=()2241()........542f f f f f f f f πππ⎡⎤+-⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=+分 21(0f f -≥, ,22)1(42πππ≥+-∴fff f即1f=时（EF =DE ）OS 矩形PDEF的最小值为2π（3）OS矩形PDEF的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．过B 点过BM ⊥AQ ，M 为垂足，BM 交直线PF 于N 点，设FP ＝ e ， ∵BN ∥FE ，NF ∥BE ,∴BN =EF ,∴BN =FP =e . 由BC ∥MQ ,得：BM =AG =h . ∵AQ ∥BC , PF ∥BC , ∴AQ ∥FP ,⊙⊙⊙⊙⊙∴△FBP ∽△ABQ. ∴FP BN AQBM=,……9分∴he AQ e =.∴h AQ =……10分mmkn n AQ 242-±-=∴……11分∴线段AQ 的长与m ，n ，k 的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可）[来源:]解法二：（1）∵a ，h 为线段长，即a ，h 都大于0， ∴ah ＞０∵（a -h ）２≥０，当a ＝h 时等号成立.故，（a-h ）２＝（a ＋h ）２－４a h ≥０． ∴（a ＋h ）２≥４a h ，∴2()a h ah+≥４．（﹡）这就证得ha h a ⋅+2)(≥４．（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF 的边PD =x ，DE =y ，则⊙O 22x y +S ⊙O =222(x y π+ (4)分, S 矩形PDEF =xyO PDEFS S 矩形=22()4x y xyπ+ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++2)(42)2(4222xy y x xyxy y xy x ππ 由（1）（*）， .2)24(42)(42πππ=-≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴xy y x .2()4x y xy +≥⊙OPDEFS矩形的最小值是2π（3OS矩形PDEF的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形.∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.∵△AGB∽△FEB，∴AB AGBF EF=.∵△AQB∽△FPB, AB AQBF PF=而EF=PF，∴AG=AQ=h,∴AG=h或者AG=h············11分∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.（解题过程叙述基本清楚即可）（第23题）GE D C⊙⊙。