第一章 三角形的证明1.在△ABC 中，AC 垂直于BC ，点P 是∠A ，∠B 和∠C 的角平分线，从点P 分别向AC ，BC 和AB 作垂线，分别交AC ，BC 和AB 于点D ，E ，F 。

已知AC=8，BC=6，AB=10。

求PD ＝＿＿＿＿2.如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。

其中结论正确的是（ ） A 、(1)，(3) B 、(2)，(3) C 、(3)，(4) D 、(1)，(2)，(4)（第1题图） （第2题图）3、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ） A 、40° B 、45° C 、50° D 、60°4、如图，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）.A ．045 B ．055 C ．060 D ．075（第3题图） （第4题图）5、如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处6、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD =BE ； ② PQ ∥AE ；③ AP =BQ ；④ DE =DP ；⑤ ∠AOB =60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．7、如图，已知ABC △中，45ABC ∠=o，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ） A ．6B ．4C ．23D ．58、如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的 位置，BE 交AD 于点F.求证：重叠部分（即BDF ∆）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC第7题ABCE DO P QDCBAE H又∵BDE ∆与BDC ∆关于BD 对称，∴ 23∠=∠. ∴BDF ∆是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠ A ．①③ B ．②③ C ．②① D ．③④ 9、如图，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且 BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段 BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相 交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ， AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）. A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）10、如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，以斜边AB 为一边作等边三角形ABD ，使得C 、D 在AB 的同侧，再以CD 为一边作等边三角形CDE ，使得C 、E 在AD 的异侧，若AE=1，则CD 的长为（ ） A 、31- B 、312- C 、62- D 、622-（第11题图） （第12题图）11、如图、在等边三角形ABC 中，AC=9，点O 在AC 上且AO=3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转060得到线段OD ，要使得点D 恰好落在BC 上，则AP 的长为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7 12、如图，△ABC 中，∠C=Rt ∠，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=7.8cm ，则D 到AB 的距离为 cm.13、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB=AC ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ；④△ABC 是正三角形。

请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上） 。

14、在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是______ __.(填序号)15、如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.16、如图15，在ABC ∆中，AB=AC ，0120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果EDB C A （第9题图） （第10题图）BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.17、如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于点E ，若4BE =，则AC =_______ .18、如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是_______．（第17题图） （第18题图） （第19题图）19、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1232008P P P P L ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为 ．20、已知：如图，,AB m BC n ==，D 是等腰ABC 底边BC 上一动点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。

则DE+DF 的值为 。

21.等边三角形ABC 中，D 是三角形内一点，DA = DB ，BE = AB ，∠CBD = ∠EBD ，求∠E 的度数；22、两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由． A B C EDL L1PAOyxP23、已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD . （1）求证：△AGE ≌△DAB（2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连AF ，求∠AFE 的度数.24、如图23，在ABC ∆中，090A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的 平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E. 求证：12CE BD =.25、如图24，090AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶 点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问 PC 与PD 相等吗？试说明理由.26、如图，在∆ABC 中，022.5B ∠=，边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，DF AC ⊥于F 点，并交BC 边上的 高AE 于点G 。

求证：EG=EC 。

D AB C G E F 图23图24GHBEADCF27、如图，在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，若040A ∠=. （1）求NMB ∠的度数；证明之；（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求NMB ∠的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试28、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交CE 的延长线于点F ．求证：（1）AC=2BF ．（2）AB 垂直平分DF 。

29、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠BAC 交CD 于E ，交BC 于F ，EG ∥AB 交BC 于G ， 求证：BG ＝CF 。

29、已知如图△ABC 是边长为a 的等边三角形，△BCD 的顶角∠BDC ＝120°，DB ＝DC 以D 为顶点作一个60°的角，角的两边DM 、DN 分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，求△AMN 的周长。

F EDBC AGEFDCBAB A O D CE31、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若P A ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．32、（1）如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ， 连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.33、如图，△ABC 为等边三角形，在BC 上取点M ，使得14BM AB =，在AB 上取点N ，使得14BN AB =，点123,,,P P P 依次是AC 边上的四等分点，求123MPN MP N MP N ∠+∠+∠的度数。

C BO DA EM34、如图，在△ABC 中，060,40BAC C ∠=∠=，BQ 与AP 为△ABC 的角平分线。

求证：BQ AQ AB BP +=+35、如图，已知060MAN ∠=，点B 在射线AM 上，AB =4，P 为射线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ ，O 是△BPQ 的外心。

（1）求证：AO 平分MAN ∠；（2）当点P 在AN 上运动时（不与点A 重合），AO 与BP 交于点C ，,AP x AC AO y ==g ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围。

36、如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，,BD AD A ACD >∠=∠。