2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2010全国2理)与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个【答案解析】D2．向量=（1，2，0），=（－1，0，6）点C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为( ) (A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6)(C)(0，1，3)(D)(－1，－1，3)3．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1(C )7(D )－74．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A )11B D (B )D 1 (C )1DB(D )1BD第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（理科）空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ．6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .7． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。

8．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DA B 11第22题A9．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______10．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______．11．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.三、解答题12．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （1）证明：AP ⊥BC ；（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？ 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分法一：（Ⅰ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系o xyz -，则(0,0,0)O ，(0,3,0)A -，(4,2,0)B ，(4,2,0)C -，(0,0,4)P ，(0,3,4)AP =，(8,0,0)BC =-由此可得0AP BC ⋅= ，所以AP BC ⊥ ，即AP BC ⊥（Ⅱ）13．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF == ．(1）求二面角A-DF-B 的大小；(2）在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600 试确定点P 的位置． 4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --的余弦值为7，求实数λ的值.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2A B B C ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为403. （1）求1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直， 如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.BEAFDCBD1B 1A 1DD 1C 1ACB16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小. 【2012高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）17．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1．(1)求异面直线AC1与CB1所成角的大小；(2)证明：BC1⊥AB1．18．已知向量a＝(1，－1，2)，b＝(－2，1，－1)，c＝(2，－2，1)，求(1)(a＋c)·a；(2)｜a－2b＋c｜；(3)cos〈a＋b，c〉．19．三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝B C ．(1)求AC 与平面SBC 所成角的大小． (2)求二面角A －SC －B 的大小．20．如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22. (Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； (Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小； (Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离.21．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD .CDPAB⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.22．(本小题满分10分)如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角B AC M --的的余弦值； （Ⅱ）求点C 到面MAB 的距离.23．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。

24．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.(1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60º； (2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ， 1D Q ⊥AP ，并证明你的结论.25．如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．PBCDA M（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）26．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

27．已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．（1）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）求点A 到平面MCN 的距离．28．如图，圆锥的高4PO =，底面半径2OB =，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF DE ⊥． (1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2)求二面角O DF E --的正弦值．29．（本小题满分15分）三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，13AA =．D 是BC 的中点．OEDAFBPPCBA（1）求直线1A D 与11B C 所成角的余弦值； （2）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值．30．如图：三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3。

若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥P －ABC 的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小 （结果用反三角函。