数列极限的概念
值无限接近常数a，就称a 是{xn}，当n →∞时的极 限，记作
如果数列{xn}，当n无限增大时，数列{xn}的取
lim xn a，
n
如果数列没有极限，称数列是发散的
收敛数列的性质
1. 收敛数列{xn}的极限是唯一的 2. 收敛的数列一定有界，但有界的数列不一 定收敛。 3.无界数列必定发散 4. 收敛数列的极限有的可以达到，有的不能 达到。例如，常数列可以达到它的极限，但上 面的例子都不能达到它们的极限。
无穷大
lim 0 ，即当 x x 0 时 如果 x x f ( x)
0
1
1 f ( x)
是无穷小，
则称当 x x 时，
0
f ( x ) 为无穷大．记为
x x0
lim f ( x) 或 f ( x) ( x x0 )
0
注 当xx
( 或 x ) 时为无穷大的函数 f ( x ) 极限
，则
x x0
（1）
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0
； ，
（2） x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) AB
x x0 x x0
，就说 是比 低阶的无穷小．
定理
设 ~ ， ~ ，且 lim
存在，则 lim lim ．
定理表明，求两个无穷小之比的极限时，如果用来 代替的无穷小选取得适当，可使计算简化．
sin x lim 例 求 x 0 x 3 3 x ．
x x0
( B 0)
x3 1 例 求 xlim 2 x 2 5 x 3 ．
解
x 1 lim 2 x22 x 2 x 5 x 3 lim( x 5 x 3)
3 x 2
lim( x3 1)


lim x3 lim1 lim x 5lim x lim3
函数极限的运算 1）无穷小、无穷大
无穷小的定义
在某一极限过程中 （如 x x0 ，x ，n ） ， 以零为极限的变量称为该极限过程的无穷小量，简称 无穷小．
1 1 0 例如， 因为 x x 所以函数 x 为当 x 时的 lim
无穷小．
无穷小与函数极限的关系
而且 A 0 （或 A 0 ） ，那么就存在着点 x 的某一去心邻 域，当 x 在该邻域内时，就有 推论 1
0
f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ） ． f ( x) 0 （或
如果在 x 的某一去心邻域内
x x0
f ( x) 0） ，而且 lim f ( x) A ，那么 A 0 （或 A 0 ） ．
x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2

(lim x) 1
3
(lim x) 5 2 3
x 2
x 2 2
2 1 7 2 2 10 3 3．
3
3）两个准则
准则 I （1）
{ yn } 及 {zn } 满足下列条件： 如果数列 {xn }、
yn xn zn
1 x 1 t lim(1 ) lim(1 ) x t x t
tan x 例 2 求 lim x0 x ．
解
1 1 lim t 1t e． (1 ) t
tan x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim 1． x0 x 0 x x cos x x0 x x0 cos x
二、函数的极限
1）自变量趋于无限时的函数极限
如果函数 f ( x) 当 x 无限增大时， f ( x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，此时称 l 是
f ( x) 当 x 时的极限，记作
lim f ( x) l ．
x
lim f ( x) 存在的充分必要条件是 lim f ( x) lim f ( x) ．
x x 0 （或 x ） 定理 在自变量的同一变化过程
f ( x ) 中，函数 具有极限 A 的充分必要条件是 f ( x) A ，
其中 是无穷小．
无穷小的运算性质
性质1 性质2 推论1 推论2 有限个无穷小的和也是无穷小． 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 常数与无穷小的乘积是无穷小． 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
x x0
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA
x x0
n
， ； ．
x x0
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
n
An
（3） ．
lim f ( x) f ( x) A x x0 lim x x0 g ( x) lim g ( x) B
x x0
( x )存
在，那么这极限唯一． 性质 2(函数极限的局部有界性) 如果 lim
x x0
f ( x) A ，
那么存在常数
f ( x) M
M 0
和

，使得当
0 x x0
时 有
． 如果 lim
x x0
性质 3(函数极限的局部保号性)
0
f ( x) A ，
解 当 x 0 时 sin x ~ x 所以
sin x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 ． x 0 x 3 x x 0 x 3 x x 0 x 3 3
2）极限的四则运算法则
设
x x0
lim f ( x) A
和
x x0
lim g ( x) B
x
n
第二个重要极限的三种形式也可统一为模型
( x ) 0
lim (1 ( x))
1 ( x)
e，
成立的条件是在给定趋势下， 两个 ( x) 是一模一样的 无穷小量．
1 x ) ． 例 1 求极限 lim(1 x x
解 令 t x 则 x 时 t ． 于是
f ( x0 0) A ．
0 0
（2）当自变量 x 大于 x 而无限趋近于 x 时，如果 函数 f ( x) 的对应值无限趋近于一个确定的数 A ，那么 A 就叫做函数 f ( x) 当 x x 时的右极限，记作
0
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 0) A ．
y f ( x x0 ) f ( x0 ) ．
2）连续的定义
定义 1 定义，如果
x 0
0
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有
lim y 0 ，
称函数 y f ( x) 在点 x 连续． 等价定义如下. 定义 1′ 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有 定义，如果函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限存在，且等于 它在点 x0 处的函数值 f ( x0 ) ，即
三、函数的连续性
连续函函数的概念
1）增量的概念
设变量 t 从一个初值 t1 变到终值 t 2 ， 增量 t 函数 函数 量为
t2 t1 ．
y f ( x) 自变量 x 从 x0 变到 x0 x 时，
y
相应地从 f ( x0 ) 变到 f ( x0 x) ，函数 y 的对应增
x x x
2）自变量趋于有限值时的极限
假定函数 f ( x) 在点 x 的某个去心邻域内是有定义，
0
如果在 x x 的过程中， 对应的函数值 f ( x) 无限接近于确
0
定的数值 A ， 那么就说 A 是函数 f ( x) 当 x x 时的极限． 记
0
作
x x0
lim f ( x) A
准则 II 的几何解释： 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或 者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点 A，而对 有界数列只可能后者情况发生．
4）两个重要极限
sin x lim 1， x 0 x
1 1 1 lim 1 e （或 lim1 e ， lim(1 x) x e ） ， x n x 0 x n
定理 函数
f ( x) 当
x x0 时极限存在的充分必要
条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即
f ( x0 0) f ( x0 0) ．
例
x 1 f ( x) 0 证明函数 x 1 x0 x0 x0
当 x0 时的极
限不存在． 证
x 0
这是因为
是不存在的．为了便于叙述也说“函数的极限是无穷 大” 并记作
x x0
lim f ( x)
f ( x ) )． (或 lim x
1 f ( x)
如果
f ( x ) 为无穷大，则
为无穷小；
f ( x ) 0 ，则
反之，如果 穷大．
f ( x)
为无穷小，且
1 f ( x)
定义 列
{xn }
满足条件 x1 x2 x3 xn xn1 ， 称数 是 单 调 增 加 的 ； 满 足 条 件
x1 x2 x3 xn xn1 ， 称 数 列 {xn } 是 单 调 减 少
的．统称为单调数列． 准则 II 单调有界数列必有极限
(n 1 ， 2， 3...) ，
y n a， lim z n a， （2） lim n n
xn a ． 那么数列 {xn } 的极限存在，且 lim n