L
1
(m1
m2
)l121
m
2
l
2 2
(1
2 )
m2l1l2
cos
2
(21
2 )
d
dt
L1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2 cos2
1 (m2l22
m2l1l2 cos2 )2
2m2l1l2 sin212 m2l1l2 sin22
L 1
(m1
m2 )gl1 sin1
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能：
从而连杆l2的动能为：
T2
1 2
m2l1212
1 2
m2l22 (12
212 22 )
m2l1l2
cos2 (12 12 )
势能为：
U2 m2 gl1 cos 1 m2 gl2 cos(1 2 )
θ2
m2
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能：
连杆l1的动能为：T1 连杆l1的势能为：U1
1 2
m1l1212
m1gl1 cos
1
对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直
角坐标系中的位置表达式：
x2 l1 sin1 l2 sin(1 2 )
（3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格 朗日函数L=T-U；
（4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求 得机器人的动力学方程。
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4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个
连杆长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，且集 中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速
第四章 机器人动力学
数学模型：
关节运动→位移、速度、加速度变化→ qi , qi , qi
关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τi 动力学方程：
i f (qi , qi , qi ) ， i=1，…，n
正问题：已知qi , qi , q，i 求τi。
逆问题：已知τi ，求 qi ,。qi , qi
度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器
人的动力学方程。 解：① 选取连杆绕关节的转角
y 关节1
为变量θ1和θ2 ，则系统的广义
x
坐标就可以选为 qi (i ，1,2即)
q1 1, q2 2
② 转动关节对应的是力矩，
θ1 关节2 m1
所以广义力就选为 Fi (i ，1,2) 即 F1 M1 , F。2 M2
第四章 机器人动力学
4.1 动力学模型 4.2 牛顿——欧拉方程法
习题
2020年4月1日星期三
第四章 机器人动力学
动力学研究的问题： 机器人各个关节的运动与关节
需要的驱动力（矩）之间的关系。
正问题：已知关节运动，求 关节驱动力（矩）。
逆问题：已知关节驱动力（矩）， 求关节运动。
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—L—拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它
被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。
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4.1 动力学模型 2、拉格朗日方程法
对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉 格朗日动力学方程：
（1）选取完全并独立的广义坐标； qi q1, q2 , , qn; （2）选定广义力； Fi F1, F2 , , Fn;
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4.1 动力学模型 1、力学分析 2、拉格朗日方程法 3、动力学模型
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4.1 动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析
机器人各个关节处于静止状态。
当负载为一重物时：
m1=mg(l1+l2) m2=mgl2
τ3=mg
关节承受的力和力矩： 关节需要的驱动力（矩）：
f2=mg
关节需要的驱动力（矩）：
τ3=mg
m3g f3=mg
mg
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
1、力学分析
（2）动力学分析
机器人各个关节处于运动状态。
当负载为一重物时：
1 ,1
m1
2 ,2
m2
d3 , d3
τ3
m3
关节承受的力和力矩：
l1 τ1
f1
关节需要的驱动力（矩）：
l2 τ2
f2
m(l1 l2 )1
f3
m(l1 l2 )12
mg md3 2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型 2、拉格朗日方程法
拉格朗日方程的一般形式为：
Fi
d dt
qLi
L qi
i 1,2, , n
式中，Fi——广义力，它可以是力，也可以是力矩； q i——系统选定的广义坐标； qi——广义坐标对时间的一阶导数，即速度；
l1 τ1=0 f1=mg
l2 τ2=mgl2
f2=mg
f3=mg
mg
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析
机器人各个关节处于静止状态。
考虑杆件自重时：
m1=mg(l1+l2) m2=mgl2
m1g
m2g
关节承受的力和力矩：
l1 τ1=0
l2 τ2=mgl2
f1=mg
m2 gl2
sin(1
2)
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 再将拉格朗日函数对 2和 2进行微分，即：
L
2
m2l22
(1
2 )
m2l1l2
cos
21
d dt
L2
(m2l22
m2l1l2
cos
2
)1
m2
l222
m2l1l2
sin
212
L
2
m2 gl2 sin(1
2)
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：
M1
(m1
m2
)l12
m2
l
2 2
2m2l1l2
cos 2
1
(m2
l
2 2
m2l1l2
y2
l1
cos1
Байду номын сангаас
l2
cos(1
2)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y2
l1 l1
cos 11 sin1 l2
l2 cos(1 sin(1 2
2 )(1 2 ) )(1 2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22 (12 212 22 ) 2l1l2 cos 2 (12 12 )
则可构造出拉格朗日函数为：
L
1 2
(m1
m2 )l1212
1 2
m2l22 (12
212 22 )
m2l1l2
cos2 (12 12 )
(m1 m2 )gl1 cos1 m2 gl2 cos(1 2 )
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 先将拉格朗日函数对 1和1进行微分，即：