2014-2015学年山东省东营市广饶一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．（5分）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}3．（5分）等差数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（）A．55 B．60 C．65 D．704．（5分）若a＞b．则下列各式正确的是（）A．a•lgx＞b•lgx B．ax2＞bx2 C．a2＞b2D．a•2x＞b•2x5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m8．（5分）函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）函数的导函数，令，b=log32，则下列关系正确的是（）A．f（a）＞f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）=f（b）D．以上都不正确10．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）不等式＞1的解集是．12．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+1的值为．14．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则的最小值为．15．（5分）下列四个命题中：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③当m≥﹣1时，则函数（x2﹣2x﹣m）的值域为R；④“a=1”是“函数f（x）=在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；其中真命题是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.）16．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：3x ﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（），a3+a4=32（）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=a+log2a n求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．19．（12分）我校服装厂主要生产学生校服和工厂工作服，已知服装厂的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，服装厂年内共生产此种产品x 千套，并且全部销售完，每千套的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．（1）写出年利润（万元）关于年产品（千套）的函数解析式；（2）年产量为多少千套时，服装厂所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）20．（13分）设数列{a n}满足a1=3n，n∈N．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，数列{b n}的前n项的和是T n，证明T n．21．（14分）已知f（x）=ax﹣lnx，a∈R（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年山东省东营市广饶一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．（5分）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣．故选：D．2．（5分）集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（）A．55 B．60 C．65 D．70【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3+a4=9，∴，解得a1=2，d=1，∴×1=65．故选：C．4．（5分）若a＞b．则下列各式正确的是（）A．a•lgx＞b•lgx B．ax2＞bx2 C．a2＞b2D．a•2x＞b•2x【解答】解：∵a＞b，lgx≤0时，不成立，A错误；x=0时，ax2=bx2，B错误；若a=0，b=﹣1，a2＜b2，C错误；2x＞0，∴a•2x＞b•2x，D正确；故选：D．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．6．（5分）函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题知，解得b=4，c=2故，当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解．又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解．故选：C．7．（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选：A．8．（5分）函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选：D．9．（5分）函数的导函数，令，b=log32，则下列关系正确的是（）A．f（a）＞f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）=f（b）D．以上都不正确【解答】解：由，得：，∴，则．∴f（x）=sinx﹣x．∵f′（x）=cosx﹣1在x∈（0，1）上小于0恒成立．∴f（x）=sinx﹣x在x∈（0，1）上为减函数．2=b＜1，∵a==＜=log∴f（a）＞f（b）．故选：A．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）不等式＞1的解集是{x|} ．【解答】解：不等式＞1，化为（3x+1）（x+2）＜0，解得：，不等式＞1的解集是：{x|}．故答案为：{x|}．12．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+1的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+1=+1=+1=+1=，故答案为：．14．（5分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则的最小值为4．【解答】解：∵函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，∴x+3=1，x=﹣2，y=﹣1．即A（﹣2，﹣1）．∵点A在mx+ny+2=0上，∴﹣2m﹣n+2=0，即2m+n=2，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（2m+n）=[2+++2]≥•（4+4）=4（当且仅当n=2m=1，即m，n=1时取“=”）故答案为：4．15．（5分）下列四个命题中：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③当m≥﹣1时，则函数（x2﹣2x﹣m）的值域为R；④“a=1”是“函数f（x）=在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；其中真命题是①③④．（填上所有正确命题的序号）【解答】解：①对于函数f（x）=lnx﹣2+x，，∴函数在区间（1，e）上单调递增，f（1）=﹣1，f（e）=e﹣1＞0，根据函数零点的判定定理可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．②不正确，如当f（x）=x3时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x3在x=0处没有极值．③m≥﹣1，函数的真数为x2﹣2x﹣m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，所以函数的值域为R，故③正确．④由a=1可得f（x）=定义域为R，关于原点对称=﹣f（x），故函数在定义域上是奇函数，故充分性成立．函数在定义域上是奇函数，a=±1，故“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故④正确．故真命题是①③④故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共75分.）16．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：3x ﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，则a，即q：a．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足，即a＞2，∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．17．（12分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（），a3+a4=32（）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=a+log2a n求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1+a2=2（），a3+a4=32（），可得：a1a2=2，a3a4=32，即=2，=32，解得q=2，a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）b n=a+log2a n=4n﹣1+（n﹣1）．∴数列{b n}的前n项和S n=（1+4+42+…+4n﹣1）+（0+1+2+…+n﹣1）=+=+．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=…（2分）∴，∴y=f（﹣3x）+1的最小正周期为…（3分）由得：，k∈Z，∴y=f（﹣3x）+1的单调递减区间是，k∈Z…（6分）（Ⅱ）∵，∴，∴…（7分）∵，∴．由正弦定理得：，即，∴b+c=13…（9分）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即49=169﹣3bc，∴bc=40…1（1分）∴…（12分）19．（12分）我校服装厂主要生产学生校服和工厂工作服，已知服装厂的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，服装厂年内共生产此种产品x千套，并且全部销售完，每千套的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．（1）写出年利润（万元）关于年产品（千套）的函数解析式；（2）年产量为多少千套时，服装厂所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【解答】解：（1）当0＜x≤10时，当x＞10时，，∴P=；（6分）（2）（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，P′＞0，当x∈（9，10）时，P′＜0．∴当x=9时，P取最大值，且P max=8.1×9﹣﹣10=38.6．…（9分）②当x＞10时，P=98﹣（）＜38，当且仅当，即x=时，P max=38．综合①、②知x=9时，P取最大值．…（11分）所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．…（12分）20．（13分）设数列{a n}满足a1=3n，n∈N．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，数列{b n}的前n项的和是T n，证明T n．【解答】（1）解：数列{a n}满足a1=3n，n∈N．n≥2时，a1+…+=3（n﹣1），∴=3，化为：a n=3n．n=1时，a1=3，对于上式也成立．∴a n=3n．（2）证明：b n===﹣，∴数列{b n}的前n项的和T n=++…+=，由于数列单调递增，∴T n≥T1==．即T n．21．（14分）已知f（x）=ax﹣lnx，a∈R（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=2x﹣lnx，函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x）=2﹣∴f′（1）=1，f（1）=2∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2=x﹣1，即x﹣y+1=0；（II）∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0∵f′（x）=a﹣∴a﹣1=0，∴a=1∴f′（x）=1﹣令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1∵x＞0，∴x＞1∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；（III）假设存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，①当a≤0时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去）；②当时，f（x）在区间（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增∴f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件；③当时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），综上所述，存在实数a=e2，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3．。