题目初等变换在线性代数中的应用学生姓名马晨光学号1109014100 所在学院数学与计算机科学学院专业班级数应1102指导教师王树勋完成地点陕西理工学院2015年5月30日初等变换在线性代数中的应用马晨光（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业1102班，陕西 汉中，72300x ）指导老师：王树勋摘要：本文介绍它在求矩阵的逆，求解线性方程组，矩阵方程，求解向量组的秩和极大线性无关组，将二次型化为标准二次型中的应用。

关键词：线性代数 初等变换 逆矩阵 二次型1 引言线性代数是高等高职院校理工类和经管类的重要的一门基础课，而且矩阵理论是线性代数的主要内容.矩阵的初等变换在线性代数中有着非常重要的作用.初等变换包括：线性方程组的初等变换、行列式的初等变换、矩阵的初等变换.线性方程组可以写成系数矩阵和未知数矩阵的乘积.所以线性方程组的初等变换也可以用矩阵的初等变换来表示.本文归纳了前人对初等变换在线性代数中的应用进行了讨论，初等变换在线性代数中是一个核心的概念，在线性代数有许多知识需要运用初等变换的方法.所以说矩阵的初等变换是初等变换的主要内容.在线性代数中，矩阵的初等变换是指如下定义： （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 用一个非零的数K 乘矩阵的某行（列）； （3） 矩阵的某行（列）乘K 倍加到另一行（列）；矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.初等变换在线性代数中主要具有以下作用：求矩阵的逆，求解线性方程组，求解矩阵方程，求解向量组的秩和极大线性无关组，将二次型化为标准型等.下面我们就根据这几个方面谈谈初等变换在线性代数中的应用.2 初等变换的应用1.1求矩阵的逆定义1 A 是数域中P 上的n 阶方阵，如果在P 上存在n 阶方阵B ，使得AB BA E ==,则称A 为B 的可逆矩阵，B 为A 的可逆矩阵.关于这个定义要注意两点：1.1，满足定义的矩阵B 是唯一确定的（如果存在的话）。

1.2，如果矩阵B 满足BA E =,那么，B 一定也满足AB E =.(由于矩阵的乘法一般是没有乘法交换律的)1.1．1 矩阵可逆的充要条件 （1） A 必须是满秩（2） A 可经过行，列初等变换化为单位矩阵 （3） A 的特征值的乘积不为0 （4） A 的行（列）向量组线性无关. 1.1.2 初等变换求逆由于求矩阵的逆需具备矩阵是方阵。

若可逆矩阵A 是方阵进行若干次初等变换可以转换为标准型，简单地说利用初等变换求逆一般的方法就是[AE ] −−→[E 1A -]或1A E E A -⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 例2 设矩阵A = 111321201--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1A -.解 利用初等行变换111100111100101210[]320010012310012310201001023201001421A E ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦100211010532001421⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎣⎦。

故1A -=100211010532001421⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦1.2求解线性方程组：给一个线性方程组很难看出它是否有解，有几个解，一般我们解决线性方程组问题时有两种方法：消元法和初等变换法.所谓消元法和我们初中所学的解决一元二次方程的方法一样，只不过将其扩展了.而初等变换法是将矩阵的理论运用到解方程组的问题上，方便简单.线性方程组的解一般有三种情况：有唯一解，有无穷解，无解.给一个线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（2）把系数按原来的位置写成一个m ⨯n 矩阵A=111212122212..................n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为（2）的系数矩阵.若把常数项也添成一列，则得到一个m ⨯（n +1）矩阵 A =11112122122212n n m m mnm a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为（2）的增广矩阵.显然如果知道一个线性方程组的全部系数矩阵和常数项，那么就可以确定这个线性方 程组,而判断线性方程组解得情况就是看系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等.若有一个矩阵A 每一行元素的第一个是非零元素，那么我们就说这个非零元素就是该矩阵的首元，若A 的前r 行为非零，其余行全为零，且该首元所在列的其他元素都为0，那么我们就说该矩阵的秩就是r .如果在阶梯型矩阵中每个首元都等于1，并且每个首元所在的列其他元素都为零，则称A 是一个单位阶梯型矩阵. 线性方程组可以经过初等变换化为同解的方程组，而对线性方程组作初等变换就相当于对它的增广矩阵作相应的初等变换.由于每个矩阵都可以通过初等变换化为阶梯型矩阵，所以每个线性方程组都可以利用初等变换化为同解的阶梯型方程组. 因为线性方程组分为非齐次线性方程组和齐次线性方程组：非齐次线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩解的情况(1) 线性方程组有解的充分必要条件：线性方程组有解的充分必要条件是[]()R A b R A =]。

且当()R A n =时有唯一解；当()R A n <时有无穷多解.（2） 利用增广矩阵的初等变换求解线性方程组的三种情形：增广矩阵[A b ]经过一系列的初等行变换，最后将增广矩阵转化成阶梯型矩阵，观察增广矩阵的非零行个数是否等于系数矩阵的非零行个数。

若（[]()R A b R A =）则方程组有唯一解；若（[]()R A b R A =n <）,方程组有无穷多解。

若出现一行最后一个元素不为零而其他元素都为零时（()()R A R A ≠），方程组无解. 齐次线性方程组0AX =齐次线性方程组111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩解的情况（1） 齐次线性方程组有非零解得充分必要条件是()R A n <.（2） 齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数时（m n <）必有非零解. （3） 齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量的个数时（()R A n =）只有零解. 注 若线性方程组有无穷多解，则通解的表达式是不唯一的，因为自由未知量的选取可以不同（但自由未知量的个数是相同的）.当()R A r n =<时，齐次线性方程组有n r -个线性无关的解向量，n r -个无关解向量12,,n r ααα-是它的基础解系，而且齐次线性方程组的所有解都可以用它的基础解系来表示.所以解决线性方程组问题就是利用它的基础解系来表示所有解的情况.非齐次线性方程组与其所对应的齐次线性方程组（导出组）解的关系：（1）非齐次线性方程组有唯一解可以推出齐次线性方程组有唯一零解，反之不对（因为齐次线性方程组有唯一零解可以得出非齐次线性方程组有唯一解或无穷多解）；（2）非齐次线性方程组有无穷多解可以推出齐次线性方程组有非零解.例 1 解方程组1245123412345123453221426348242479x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩的全部解.解 用初等变换把增广矩阵化为阶梯型：30311121112001121122211638000342411790000002424 ⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣-⎦⎣⎦713006611110111221100033100⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦7130066115500661111000331000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以方程的解为121351,,0,,0(1,1,1,0,0)(7,5,0,2,6)663k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，其中1k ，2k 是数域中任意数.1.3矩阵方程含有未知矩阵的方程称为矩阵方程。

求解矩阵方程的原理是根据矩阵的逆和矩阵的乘法来求得。

一般矩阵方程可以通过化简，可以简写成下面三种形式： (1) AX B =;(2) XA B =;(3) AXB C =;如果矩阵可逆则可以左乘或右乘逆矩阵的方法求解未知矩阵.则(1)解为1X A B -=(2)解为1X BA -=（3）解为11X A CB --=.这里的B 可以推广到n ⨯m 矩阵的情形，即：如果A 是一个n 阶可逆阵，B 是一个n ⨯m 矩阵，那么方程AX B =有唯一解X =1A B -.且解X也是一个n ⨯m 矩阵.如果矩阵不可逆，则利用待定元素法来求解矩阵方程。

将未知元素设出来，然后根据矩阵的乘法将其写成方程组形式，然后解方程组.如何利用初等变换来解决矩阵方程AX B =，我们知道矩阵的逆对的求法，所以我们根据矩阵的逆的性质对其进行扩展.构造矩阵(,)A B 对这个矩阵进行初等行变换将矩阵A 化为单位阵E ,对矩阵B 也进行初等行变换将矩阵B 化成1A B -.即1(,)(,)A B E A B -→同理，求解矩阵方程XA B =，构造矩阵A B ⎛⎫⎪⎝⎭对这个矩阵进行初等列变换将矩阵A 化为单位矩阵E ，对矩阵B 也进行初等列变换将矩阵B 化为1BA -即1A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例1求X 使308112316134205205X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦解用矩阵的初等变换来求解 811203333130811236301141224214219050522003333⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦81120333310122420019142⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦005501110010*********42⎡⎤-⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦故X = 11550100404219-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 1.4 求解向量组的秩和极大线性无关组1 极大线性无关组和向量组的秩 定义2 向量组A 中的部分向量12,,r ααα满足（1）12,,r ααα线性无关；（2）向量组A 的任何向量可由12,,r ααα线性表出；则称12,,r ααα是向量组A 的极大线性无关组.一个向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但是任两个极大线性无关组所包含的向量个数是相同的；如果只有一个零向量组成的向量组是不存在极大线性无关组，一个线性无关组的想向量组的极大线性无关组就是这个向量本身. 向量组的秩：一个向量组中的极大线性无关组中向量的个数就是该向量组的秩. 向量组的秩等于向量组的行秩等于向量组的列秩，所以要求向量组的秩，可以只求向量组的行秩或列秩.1向量组的秩与极大线性无关组的求法 初等变换法首先以向量组中的各向量为列作成矩阵A ；然后对A 进行初等行变换，将矩阵A 化为阶梯型矩阵B （或行最简形C ）；这时B 中非零行向量的个数为矩阵A 的秩，即向量组的秩；由于B 或C 的前r 个非零行的首元所在的行共r 列，此r 列所对应的矩阵A 的r 个列向量就是最大无关组.注1 若将向量写成行向量组形式，则要采用初等列变换，化为列的阶梯型（最简形式），也可以得向量组的秩及最大线性无关组.2 以向量的分量为列（或行）作矩阵A ，则对A 必须采用初等行（列）变换，绝对不能写成行（列）矩阵，又做初等行（列）变换.例 求向量组1α=（1,2，-1,1），2α=（2,0，t ，0），3α=（0，-4,5，-2），4α=（3，-2，t+4，-1）的秩和一个极大线性无关组.解 以向量1234,,,αααα为行向量排成矩阵，做列初等变换：121120004523241t t -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-+-⎣⎦10001000242221300452010038743230t t t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+---⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-+---⎣⎦⎣⎦所以1α，3α肯定线性无关，两种情况：情况1 ：t=3.则1α，3α是极大线性无关组，而2α=21α+3α和4α=31α+23α情况2： t ≠3，则123,,ααα是极大线性无关组，而4α=123ααα++. 向量组线性无关的充要条件是它的秩等于它所含向量的个数.1.5合同矩阵定义3 两个实对称阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P 使得T A P BP =,就称由A 到B 的变换为合同变换.如果存在一个可逆矩阵P 使得T A P BP =就相当于对于二次型的矩阵来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变换成与其合同的矩阵.合同是矩阵之间的一种关系自反性：任何矩阵与自身都是合同的；对称性：如果A 与B 合同，那么B 与A 也合同；传递性：如果A 与B 合同，B 与C 合同，那么A 与C 也合同.一个二次型经过非退化线性替换后，新的二次型与原来的二次型是合同的.新的二次型与原来的二次型都是可逆或不可逆，而且他们的秩也相同.1.6将二次型化为标准二次型设P 是一个数域，以P 中的数作系数的123,,n x x x x 的二次齐次多项式22212311112121122222(,,)222n n n n n nn nf x x x x a x a x x a x x a x a x x a x =+++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.在讨论二次型时矩阵是一个有力的工具我们可以将二次型写成矩阵形式，令ij ji a a =因为i j j i x x x x =所以二次型可以写成22212311112121122222(,,)222n n n n n nn nf x x x x a x a x x a x x a x a x x a x =+++++++=11n nij i j i j a x x ==∑∑其系数就可以写成矩阵形式A=111122212212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。