5．(2014·常州期末检测)已知双曲线ax22－y42＝1(a>0)的一条渐近 线方程为 2x－y＝0，则实数 a 的值为________．
[解析] 双曲线的渐近线方程为 y＝2ax 和 y＝－2ax，从而2a＝2， 则 a＝1.
[答案] 1
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(2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的 点的轨迹是双曲线．( )
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(3)方程xm2＋yn2＝1(mn<0)表示双曲线．(
)
(4)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( )
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考向 1 双曲线的定义及标准方程 【典例 1】 (1)(2014·南京模拟)设椭圆 C1 的离心率为153，焦 点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点 的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为________．
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对于(3)，当 m>0，n<0 时，方程xm2＋yn2＝1 可化为xm2－－y2n＝1 表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m<0，n>0 时，方程xm2＋yn2＝1 可化 为yn2－－x2m＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线，故(3)正确．
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3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为
y＝±x ，离心率为e＝ 2 .
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)平面内到点 F1(－4,0)，F2(4,0)距离之差等于 6 的点的轨迹 是双曲线．( )
渐近线
y＝±bax
性 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)
质 准线
l1：x＝－ac2，l2：x＝ac2
y＝±abx F1(0，－c)，F2(0，c)
l1：y＝－ac2， l2：y＝ac2
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性 离心率
质 a，b，c 间
的关系
e＝ac，e∈(1，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2 c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
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2．(教材习题改编)已知方程2－x2 k＋k－y2 1＝1 表示焦点在 x 轴上
的双曲线，则 k 的取值范围是________．
[解析] 由题意知k2－－1k<>00，，
∴ k<2， k<1.
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[解析] (1)(2)(4)错误，(3)正确．双曲线定义中的“差”必须 是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双 曲线的一支；如(2)中应为两条射线．
直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲 线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切，故(4) 错误．
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固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第六节 双曲线
析
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
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要求
考
内容
AB C 纲
中心在坐标原点的双 √ 传
曲线的标准方程与几何
真 性质
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返回菜(1)第一定义：平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|＝2c>0) 的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线．这 两个定点叫双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫 焦距 ．
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(2)第二定义：平面内到一个定点 F 与到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e( e>1 )的点的轨迹叫做双曲线，定点 F 为
焦点 ，定直线 l 称为 准线 ，定比 e 称为 离心率 ．
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2．双曲线的标准方程和几何性质
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(2)(2014·镇江质检)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、 右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝________.
(3)已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
理科数学（江苏专版） ya22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 性 质 对称性
x≥a 或 x≤－a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
y≤－a 或 y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心： 原点
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∴k<1.
[答案] (－∞，1)
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3．双曲线 x2－y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于________．
[解析] 双曲线 x2－y2＝1 的一个顶点为 A(1,0)，一条渐近线为
l：y＝x.则由点到直线的距离公式得
d＝
1＝ 2
2 2.
[答案]
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集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常 数且 a>0，c>0：
①当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； ②当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； ③当 a>c 时，P 点不存在．
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2 2
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4．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)的离心率为 2，则 a＝________.
[解析] 由题意得 e＝ a2a＋3＝2，∴ a2＋3＝2a， [答案] 1
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