试验次数 频数(A发生的次数) 频率
500
251
0.502
序号 1 2
3
4 5 6 7 8 9 10
试验次数 500 500
500
500 500 500 500 500 500 500
频数 频率
251
0.502
249
0.498
256
0.512
频 率
253
0.506 的
251
0.502 不
246
0.492
A
B AB
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
6. 对立事件（逆事件） 如果事件A与B满足A B ,且AB ,则称 事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事
件记作 A 。
A
A
[注] 1.对立事件一定是互 不相容事件，而互不 相容事件未必是对立 事件。
2. A A
符号
集合论
概率论
全集
【注】严格来说，随机事件是指 中满足某些条件
的子集，若 是有限集或可数集时，每个子集都可
看作为一个随机事件。若为不可数无穷时，某些子集 必须要排除在外。
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
（1） 必然事件：样本空间 本身，由于
它包含了实验 所有可能的结果，所以在每 次试验中总能发生，称为必然事件。
（2）不可能事件：在一次试验中必然不发生组成的单点集 称为基本事件，例如，E3 中的 基本事件{H}， {T}；
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
四、 事件的关系与运算 ➢研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较
复杂的事件
随机事件与集合的关系：
例4 设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算式表
示下列事件：
（1）A发生而B与C都不发生；
（2）A，B都发生而C不发生；
（3）A,B,C 至少有一个事件发生； （4） A,B,C至少有两个事件发生； （5）A,B,C 恰好有两个事件发生； （6） A,B,C恰好有一个事件发生； （7） A,B至少有一个发生而C不发生； （8） A,B,C都不发生；
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
这里我们把各种科学试验以及对某一事物某一特性
的观察都认为是一种试验。如果一个实验在相同 的条件下可以重复进行，其中每次试验的结果 事前不可预知，称该实验为随机试验 ,一般记 作随E机。试验具有的特点：
1. 每次试验的可能结果不止一个，并且事先能够 明确所有可能的结果；（结果可知性）
确 定
244
0.488 性
258
0.516
262
0.524
247
0.494
实验者 实验次数
德.摩根
2048
蒲丰
4040
K.皮尔逊 12000
频数 1061 2048 6019
K.皮尔逊 24000
12012
频率 0.5181 0.5059 0.5016 0.5005
概率论与数理统计
§1.2 随机事件的概率
B
A A B C ABC ABC ABC
ABC ABC ABC ABC
C
概率论与数理统计
§1.2 随机事件的概率
§1.2 随机事件的概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性 大小，也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
样本空间，必然事件
{}
A A B
AB AB AB
A-B
空集
中的点
单点集
的子集
集合A包含于B 集合A与B交 集合A与B交为空 集合A与B并 集合A差B
不可能事件 样本点 基本事件 事件A 事件A发生导致B发生 事件AB同时发生 事件A与事件B互斥 事件A，B至少有一个发生 事件A发生但B不发生
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
事件运算的规律： 1.交换律 A∪B=B∪A ； AB=BA 2. 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)；
(AB)C=A(BC)
3. 分配律 (A∪B)C=AC∪BC；
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
概率论与数理统计
4.对偶律（德·摩根定理）
§1.1 随机事件
AB AB
和逆=逆积
0.5181 0.5059 0.5016
K.皮尔逊 24000
12012 0.5005
fn (AH )是 n 此实验中“正面出现”的次数与投掷总次数
n 的比值。
• 二、概率论的起源与发展
• 概率论开始产生于17世纪中叶。而它的基 本概念则是直接来自对于一些特殊问题特 别是赌博游戏的研究 （分赌注问题， 赌本输光问题等）。
引言
在我们的生活中经常会遇到这些现象.
A. B. C.
太阳从东方升起； 上抛物体一定下落；
必定发生现象
在标准大气压下，水在摄氏 必定不发生现象
确 定 性 现 象
80度一定不会沸腾；
D. 明天的最高温度；
不确定性现象
E. 投掷一枚硬币,正面向上。
概率论与数理统计
引言
我们将（不确定）偶然现象称为随机现象。 随机现象：
AB
A B(B A）
若事件B 包含事件A且事件A包含事件B，则称 事件A与B相等，记作A=B。
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
2. 和事件
事件 A B {w | w A或w B} 称为事件A与事B的 和事件。
含义：事件 A B 发生
B
A
事件 A 发生或事件 B 发生
事件A，B至少有一个发生
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
4. 差事件
事件 A-B={w|w A且w B} 称为事件A与B的
差事件。
含义：事件A发生而事件
B
A
B不发生。
A-B B-A
AB A B A B
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
5. 互不相容事件（互斥）
若事件A与B不可能同时发生，即 AB ,
称事件A与B互不相容（或称互斥）。
常数 p 为事件A的概率，记作 P( A) 。
概率的统计定义。
概率论与数理统计
§1.2 随机事件的概率
关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：
1. 频率是随着试验的变化而发生变化的。试 验不同，频率的大小不同；而概率是先于试 验而客观存在的，无论进行多少次试验，概 率始终不变。
2. 对于较大的n， n次试验中事件A的频 率，一般与事件A的概率P相差不大，试验 次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形 就越少见.
解：（1） ABC 或 A-B-C 或 （2）ABC 或 AB C . （3）AU B UC. （4）AB U AC UBC （5）AB U AC U BC （6）ABC U B AC U C AB （7）(A UB) C . （8）A B C 或 ABC .
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§1.1 随机事件
B ABA A B AB AB AB
4. A2 A3 5. A1 A2 A3
6. A1 A2 A2 A3 A1 A3 （至少两次射中）
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
例3 甲、乙、丙三人同时破译密码，设A、B、 C分别表示甲、乙、丙译出密码，用事件 A、B、C表示下列事件。
1. 三人都译出密码；
2. 三人都未译出密码； 3. 甲译出，乙、丙未译出； 4. 密码被译出； 5.三人中至多有一人译出。
积逆=逆和
德·摩根定理可推广到有限或可列个随机事件上
即
Aj Aj
j
j
Aj Aj
j
j
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例1 证明：
AB
§1.1 随机事件
AB
概率论与数理统计
§1.1 随机事件
例2 射击3次,事件
表示第i次击中
目标，下列各事件表示什么意思。
1. A1 A2 A3
2. ( A1 A2 ) A3
E4 : 4 {HH ,TT}
E5 : 5 {0,1, 2}
E3 : 3 {H ,T}
【注】 由 E4，E5 可看出试验的目的决 定试验的样本空间。
概率论与数理统计
三、随机事件
§1.1 随机事件
一般地，称样本空间的子集为试验 E 的随 机事件。在每次试验中，当且仅当这个子集中 的一个样本点出现时，称这一事件发生。
基本事件 { }单点集
随机事件 A、B、C …集合；
必然事件 (全 集 ） 不可能事件 (空集)
➢研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合 之间的关系和运算来规定
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§1.1 随机事件
1. 子事件
若 A B(B A）称事件 B 包含事件A 或 事件
A是事件B的子事件。其含义是事件 A 发生必 然导致事件B
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§1.1 随机事件
§1.1 随机事件及其运算 一、随机试验
在引言中我们了解到，随机现象有其偶然性
的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现 在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性， 称为随机现象的统计规律性. 而概率论正是研究 随机现象统计规律性的一门学科. 现在，就让我 们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步 的探索和研究.
概率论与数理统计
引言
引言
在我们所生活的世界上，充满了不 确定性现象
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游 戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间 万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随 机性.
概率论与数理统计