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2、物理关系：
x
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
FN x
dA
A
Ey dA E
A
ydA ESz 0
A
Sz 0 z (中性)轴过形心
M z
(dA) y
A
Ey 2
E
dA
A
y 2dA EI z M
A
M y
(dA)z
A
Eyz dA E
B
挠度。
解、载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表，
B
查简单载荷引起的变形。
q
PA
Pa 2 4EI
wPC
Pa 3 6EI
q
B
q
qA
qa3 3EI
wqC
5qL4 24 EI
26
A C
a
a
P
A
A
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+
=
q B
q
PA
Pa 2 4EI
wPC
Pa 3 6EI
q
qA
qa3 3EI
5qL4 wqC 24 EI
一、弯曲应力的公式推导
aP
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
A
B
FQ
某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。
x
x
M
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由纯弯曲推导梁横截面上的正应力
平面假设：横截面
纵向对称面 中性层
变形后仍为平面，只 中性轴 是绕中性轴发生转动，
距中性轴等高处，变
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
EIq2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb 6l
(l 2
b2 )
B qB x
FBy
EIw2
Fb 6l
x23
F 6
( x2
a)3
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
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6）确定最大转角和最大挠度
令 dq 0
dx
得，
l a x
l,qmax
qB
Fab 6EIl
弧度,试核此杆的刚度。
=+ =+
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
A
D
B
C
P1=1kN
P2
a
B
C
P2
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
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P2=2kN
C
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L=400mm a=0.1mP
A
D
B
2f00mm P1=1kN
Cx P2=2kN
=+ +
A
D1 D2 0
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F
A
qA
DC
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
B qB x
FBy
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5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
F
EIq1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
A
qA
DC
EIw1
Fb 6l
x3 1
Fb 6l
(l 2
b2 )x1
CB 段： a x2 l
dx
w''(x) 0 w
x
在小变形条件下， ddx2w2
2
1，故忽略。
w
M<0 w''(x) 0
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1
d 2w dx 2
d 2w(x) M (x)
dx
EI 16
积分一次得转角方程为：
EI
dw dx
EIq
M (x)dx
C
再积分一次得挠度方程为：
EIw M (x)dxdx Cx D
-4kNm
x
M 2.5kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
y2 G y 2020/11/3 1
A4 A3
A4
A2L
M C y2 Iz
2.5 88 763 10 8
28.2MPa
A3L
MB Iz
y1
4 52 763108
27.2MPa
A4 y
M B y2 Iz
4 88 763108
46.2MPa
x
A
D
B
C
f 200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN
图2
B
C
a C
P2
图3
A
D
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P2 M
B
C
叠加求复杂载荷下的变形
q
B
P1L2 16 EI
P2 La 3EI
wC
P1L2a 16 EI
P2a3 3EI
P2 a 2 L 3EI
I (D4d 4 )
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
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图3
解：结构变换，查表求简单 载荷变形。
q1B
P1L2 16 EI
w1C
q1Ba
P1L2a 16 EI
q2B 0
w2C
P2a3 3EI
q
3B
ML 3EI
LaP2 3EI
w3C
q3Ba
P2 La 2 3EI
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L=400mm a=0.1mP
积分常数C、D 的确定：
位移边界条件
光滑连续条件
~
~
~
~
AA
A AA A A A AAA A
~ ~~ ~~
~ ~~~ ~ ~
~
~
A AAAA A AAA A
A A AA A
~~
~
wA 0 2020/11/3
wA 0
qA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
q AL q AR
wAL wAR
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19
例 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
FAx
0, FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2）弯矩方程
A
qA
FAy x1
DC
B qB x
wm ax
FBy
AC 段：
x2
M x1 FAy x1
Fb l x1,0
x1 a
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Wz
Iz ymax
D3
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(1 4)
b
矩形截面： I z
bh3 12
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二、梁的强度设计
1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边 缘上.
当横截面不对称，或是压缩许用应力与拉伸许用应力不同，或 是弯矩出现正号负号时应两者都取。要特别注意符号
M
2、正应力和剪应力强度条件：
MPa，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
解：画弯矩图并求危面内力 RA 2.5kN ; RB 10.5kN M C 2.5kNm (下拉、上压 ) M B 4kNm（上拉、下压）
画危面应力分布图，找危1险0 点
x3 1
C1x1
D1
CB 段：
a x2 l
F
A
qA
DC
FAy
wm ax
x1
x2
w
a
b
EI
d 2w2 dx22
M (x2 )
Fb l
x2
F (x2
a)
EI dw2 dx2
EIw2
EIq (x2 )
Fb 2l
x2 2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
F 2
( x2
a)2
C2 x2 D2
L2
P 等价
B
L2 C
L2
P 等价
w L1
P L2
B
刚化BC段
A w
C
M
P Bx
w1
Bx
29
w2
六、梁的刚度设计
刚度条件： 应用：
wmax w
qmax q
、校核刚度：
、设计截面尺寸；
、设计载荷。
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例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的q]=0.001
C2
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B qB x
FBy
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4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, q1(a) q2 (a)