3-12
证明：频移定理为
由IDFT的定义可知，
3-13
（1） ；
（2） 。
解：频移定理
（1）∵
∴
由频移特性：
（2）∵
∴
由频移特性：
3-14
求DFT[ y(n)]与X (k)的关系。
解：由DFT的定义可知，
3-15
证明：频域圆卷积定理，
若 则
同理可证
3-16
（1）x(n)(n) = x(n)；
（2）x(n)(nn0) = x(nn0)；
=
=
=
= = =
解：由DFS的定义
Xp(k)=
∴Xp(0)=
= = 4
Xp(1)= = 2 + (–j ) + 0 + j = 2
Xp(2)= = 2 + (–1 ) + 0 + (–1 ) = 0
Xp(3)= = 2 + j + 0 + (–j ) = 2
∵Xp(k)是周期函数，其周期长度N=4
证明：由卷积的定义可知来自（1）（2）3-17
解：
∴
∴
（3）
∴
3-9
解：
（1）
∴
. . .
. . .
∴
（2）
（3）
（4）
（5）
3-10
解：（1）
（2）
（3）
当 时，
当 时，
3-11
（1）x(n)与x(n)的线卷积；
（2）x(n)与x(n)的4点圆卷积；
（3）x(n)与x(n)的10点圆卷积；
（4）若要使x(n)与x(n)的线卷积等于圆卷积的结果，求序列长度的最小值。
0
0
0.5
相乘
0
0
0
0.25
取和
0.25
（2）
1) 反褶
2) 移位、相乘、求和
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(0-m)
0.5
0.5
1
1
相乘
0.25
0.5
1
0.5
取和
2.25
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(1-m)
1
0.5
0.5
1
相乘
0.5
0.5
0.5
0.5
取和
2
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(2-m)
1
1
∴Xp(k)= Z[1+cos( k)]
或Xp(0)= 4,Xp(1)= 2,Xp(2)= 0,Xp(3)= 2
3-5
解：由DFS的定义
Xp1(k)=
Xp2(k)=
= +
+
=Xp1( )+
=
=
=
3-6
解：与3-4答案相同，可由定义求出。只不过此时的x(k)非周期的。
Xp(k)= Z[1+cos( k)]R4(k)
解：图解法求卷积的步骤为：
1)反褶
2)移位（线移或圆移）
3)相乘
4)求和
（1）
1)反褶
2)移位、相乘、求和
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(0-m)
0.5
0
0
0
相乘
0.25
0
0
0
取和
0.25
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(1-m)
1
0.5
0
0
相乘
0.5
0.5
0
0
取和
1
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(2-m)
1
1
0.5
3-1
(1)δ(n)(2)δ(n-3)
(3)0.5δ(n+1)+δ(n)+0.5δ(n-1)
(4)anu(n), 0<a<1
(5)矩形序列RN(n)
解：序列频谱的定义为
=
(1) = = 1
(2) = =
(3) =
= + 1 +
= 1 + = 1 +
(4) =
=
= (∵0 < a < 1,∴收敛)
=
(5) =
或Xp1(0)= 4,Xp1(1)= 2,Xp1(2)= 0,Xp1(3)= 2
3-7
解：先将有限长序列进行周期延拓，然后右移2位。再截取0~3点即得x1(n)，如下左图所示。
先将有限长序列后褶，然后再进行周期延拓。再截取0~3点即得x2(n)，如下右图所示。
3-8
解：（1）由定义得，
∴
（2）∵
∴只要 ，N就取整数
0
相乘
0.5
1
0.5
0
取和
2
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(3-m)
0.5
1
1
0.5
相乘
0.25
1
1
0.25
取和
2.5
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(4-m)
0
0.5
1
1
相乘
0
0.5
1
0.5
取和
2
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(5-m)
0
0
0.5
1
相乘
0
0
0.5
0.5
取和
1
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(6-m)
0
0.5
0.5
相乘
0.5
1
0.5
0.25
取和
2.25
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(3-m)
0.5
1
1
0.5
相乘
0.25
1
1
0.25
取和
2.5
（3）
反褶：
移位、相乘、求和：
（4）由（3）可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7
∴可知x(n)由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。
=
=
= ·
=
3-2
(1)x(n-n0)(2)x*(n)(3)x(-n)
(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)
(7)x(2n)(8)x2(n)
x( ),n为偶数
(9)xa(n) =
0，n为奇数
(1)DTFT[x(n-n0)] =
=
(2)DTFT[x*(n)] =
=
=
=
(3)DTFT[x(-n)] =
=
(4)DTFT[x(n)*y(n)] =
=
=
=
=
=
(5)DTFT[x(n)y(n)] =
=
=
=
=
(6)DTFT[nx(n)]=
=
(7)DTFT[x(2n)]=
= +
= +
(8)DTFT[x2(n)]=
(9)DTFT[xa(n)]=
=
=
=
1|ω| <ω0
3-3
0ω0≤|ω|≤π
求 的傅里叶反变换
解：x(n)=