2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学试题注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰。
超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分. 1.设集合{}0,1,2,3,4,5U =,{}2,3,4A =,{3,4,5}B =,则U AB =ðA .{}2B .{}0,1C .{}0,1,2,3,4D .{}0,1,3,4,52.命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是A .320000,0x x x ∃>+≤B .320000,0x x x ∃≤+≤C.320,0x x x ∀>+≤ D .320,0x x x ∀≤+≤3.已知,a b ∈R ,则“a b >”是“2()0a a b ->”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若函数2log 3,0()20xx x x f x x -+->⎧=⎨<⎩,,则((3))f f = A .13B .32C .52D .35.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%,则该生物生存的年代距今约A .1.7万年B .2.3万年C .2.9万年D .3.5万年6.若幂函数的图象经过点1(2,)4,则其解+析式为A .1()2xy = B .2x y = C .2y x -= D .2y x =7.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减,则不等式(21)(3)f x f ->的解集为 A .()2,1-B .()1,2-C .(,2)(1,)-∞-+∞ D .(,1)(2,)-∞-+∞8.若直线1=y 是曲线x x ay ln +=的一条切线,则实数a 的值为 A .1B .2C .3D .49.已知定义在R 上的函数()f x 在(2,)+∞上单调递增且(0)0f =,若(2)f x +为奇函数,则不等式()0f x <的解集为 A .(,2)(0,4)-∞- B .0,4() C .(,2(02-∞-),) D .(,0)(2,4)-∞10.若函数()ln f x x =与2()(4)24()g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点(1,0)M 对称的点,则实数a 的取值范围是AC .[1,)+∞D .[e,)+∞11.1log ()2a x +(0a >且1a ≠)的图象可能是12.A .B .函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当e 0k -<<时,方程()f x k =有且只有两个实根D .若[,)x t ∈+∞时,max 25()ef x =,则t 的最小值为2 13. 对于定义域为D 的函数()f x ,若存在区间[,]m n D ⊆,同时满足下列条件:①()f x 在[,]m n 上是单调的;②当定义域是[,]m n 时,()f x 的值域也是[,]m n ,则称[,]m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是A .3()f x x = B .2()3f x x=-C .()e 1xf x =- D .()ln 2f x x =+ 二、填空题:本大题共有4个小题,每小题4分,共16分.14.函数21()log (1)f x x =+的定义域为(结果用区间表示)15.已知函数()|lg |f x x =,实数,a b ()a b ≠满足()()f a f b =,则ab 的值为 16.若“[2,8]x $?,2log 4log 2x m x?”为真命题,则实数m 的最大值为17.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1)3()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,32()f x x x =-.(1)当(0,1]x ∈时,()f x 的最小值为 ;(2)若对任意(,]x m ∈-∞,都有27()8f x ≥-成立,则实数m 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6个小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(13分)已知二次函数()f x 的图象过原点,满足(2)()()f x f x x R -=-∈,其导函数的图象经过点(0,2)-.(1)求函数)(x f 的解+析式;(2)设函数()5(01)xg x a a a a =+->≠且,若存在1[3,0]x ∈-,使得对任意2[1,2]x ∈,都有12()()f x g x ≥,求实数a 的取值范围.19.(13分)已知函数2()log ()+1nf x m x =+为奇函数,其中,,0m n m ?R .(1)求,m n 的值;(2)求使不等式()1f x ³成立的x 的取值范围.20.(13分)已知:p 实数m 使得函数21()ln (2)2f x x m x x =---在定义域内为增函数;:q 实数m 使得函数2()(1)5g x mx m x =++-在R 上存在两个零点12,x x ,且121x x <<. (1)分别求出条件,p q 中的实数m 的取值范围;(2)甲同学认为“p 是q 的充分条件”,乙同学认为“p 是q 的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由.21.(13分)已知函数()(1)e xf x x a =--()a ∈R .(1)当0a =时,求函数()f x 在1x =处的切线方程; (2)当[0,1]x Î时,求函数()f x 的最大值.22.(15分)中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足525t #,t *∈N .经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当2025t#时高铁为满载状态,载客量为1000人;当520t ?时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与2(20)t -成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时,高铁载客量为()P t .(1)求()P t 的表达式;(2)若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益2()()4065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益tt Q )(最大? 23.(15分)已知函数()ln (2)e xf x a x x =--,a ∈R .(1)当0a ³时,讨论)(x f 的导函数)(x f '在区间),1(+∞上零点的个数;(2)当1-=a ,(0,1]x ∈时,函数()f x 的图象恒在y x m =-+图象上方,求正整数m 的最大值.2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学试题参考答案一、选择题1.C2.A3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.D 10.C 11.AC 12.ABC 13.ABD二、填空题14.(1,0)- 15.1 16.517.427- , 7(,]2-∞(可写为72m ≤)三、解答题18.解:(1)设2()f x ax bx =+,∵(2)()f x f x -=-,所以()f x 的对称轴方程为12bx a=-=-, ……………………………………2分 又()2f x ax b ¢=+,则(0)2f b ¢==-, ……………………………………4分两式联立,解得1-=a ,2b =-.所以2()2f x x x =--. ……………………………………5分 (2)由已知max max ()()f x g x ≥. ……………………………………6分因为2()2f x x x =--,[]3,0x ∈-所以()f x 在(3,1)--单增,(1,0)-单减,当1x =-时,max ()1f x =…………8分 法一:当01a <<时, ()5xg x a a =+-在[]2,1上为减函数,max ()(1)25g x g a ==-,此时125a ?,解得01a <<. ………………10分当1a >时, ()5xg x a a =+-在[]2,1上为增函数,2max ()(2)5g x g a a ==+-,此时215aa ?-,解得12a <?. ……………………………………12分综上,实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.……………………………13分 (法二:因为0a >且1a ≠,所以()5xg x a a =+-为单调函数,所以{}max ()max (1),(2)g x g g =,又(1)25g a =-,2(2)5g a a =+-, ……………10分于是由212515a a a ≥-⎧⎨≥+-⎩,解得32a -≤≤. ……………………………………12分 又0a >且1a ≠,所以实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.………13分) 19. 解:(1)因为()f x 为奇函数,所以()()0f x f x -+=对定义域内任意的x 恒成立.即22log ()log ()0+1+1n nm m x x +++=-, ……………………………………2分 化简得 2222()1m x m n x -+=-, ……………………………………4分故21m =,2()1m n +=,解得1m =-,2n =. ……………………………7分 (2)由(1)知,21()log 1xf x x-=+,……………………………………………………9分 由21()log 11x f x x -=?+,得121xx-³+, ………………………………………11分 解得113x -<?, 综上,满足题意的x 的取值范围是 1(1,]3--. …………………………………13分20.解:(1)()f x 的定义域为(0,)+?,1()(2)1f x m x x '=---,…………………2分因为()f x 在定义域内为增函数,所以对0x ∀>,恒有()0f x '≥,整理得 22111172()24m x x x ≤-+=-+恒成立,于是74m ≤. 因此满足条件p 的实数m 的取值范围是7(,]4-?. ………………………6分因为()g x 的存在两个零点且121x x <<,所以(1)0m g ?. ………………………8分即(24)0m m -<,解得02m <<.因此满足条件q 的实数m 的取值范围是(0,2). ………………………10分 (2)甲、乙两同学的判断均不正确, ………………………………………………11分因为p q ⇒/,所以p 不是q 的充分条件, ………………………………………12分 因为q p ⇒/,所以p 不是q 的必要条件. ………………………………………13分21.解:(1)当0a =时,(1)0f =,(1)e f ¢=, ……………………………………2分 所以切线方程为0e(1)y x -=-,即e e 0x y --=.……………………………4分(2)()()e x f x x a ¢=-, 当0a £时,当[0,1]x Î,()0f x ¢³,()f x 单调递增, 此时max ()(1)e f x f a ==-,………………………………………………………6分当01a <<时,当(0,)x a Î,()0f x ¢<,()f x 单调递减,当(,1)x a Î,()0f x ¢>,()f x 单调递增,此时{}max ()max (0),(1)f x f f =, ………………………8分又(1)(0)(e 1)+1f f a -=--,所以当10e 1a <?-时,max ()(1)e f x f a ==- 当11e 1a <<-时,max ()(0)1f x f a ==--. ………………………10分 当1a ³时,当[0,1]x Î,()0f x ¢£,()f x 单调递减, 此时max ()(0)1f x f a ==--………………………………………………………12分 综上,当1e 1a £-时,max ()(1)e f x f a ==-, 当1e 1a >-时,max ()(0)1f x f a ==--. ………………………………13分 22.解:(1)当520t?时,不妨设2()1000(20)P t k t =--,因为(5)100P =,所以解得4k =. ………………………………3分因此 2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t P t t t ìï--??ï=íï#?ïîN N . ……………………5分 (2)① 当520t?时,23()()40650200050020004tQ t P t t t t t =-+-=-+- 因此2()2000()500Q t y t t t t==--+,520t ?. ……………………7分因为()y t ¢=32220002(1000)2t t t t ---+=,当510t?时,()0y t ¢>,()y t 单增; 当1020t <<时,()0y t ¢<,()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==.…………10分 ② 当2025t#时,2()409002000Q t t t =-+-因此()50()90040()Q t y t t t t==-+,2025t #. ……………………12分因为()y t ¢=2240(50)0t t --<,此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==,…14分 综上,发车时间间隔为10分钟时,tt Q )(最大. ……………………15分 23.解:(1)()()e (1)e (1)e x x x a af x x x x x¢=-+-=--. ……………………1分 令()(1)e xa g x x x =--,[1,)x ∈+∞,则322e ()e x x a a x g x x x x +¢=--=-,…2分 ①当0a =时,当(1,)x ∈+∞,()0g x ¢<, ()g x 单调递减,又(1)0g a ==,所以对"1x >时,()(1)0g x g <=,此时()g x 在(1,)+?不存在零点. ………………4分②当0a >时,当(1,)x ∈+∞,()0g x ¢<, ()g x 单调递减. 又因为(1)0g a =>,取}0max x a =,则02000000()(1)e (1)(1)20x a ag x x x x x x a=--<--+=-?,即0()0g x <. 根据零点存在定理,此时()g x 在(1,+∞)存在唯一零点. ………………6分综上,当0a >时,()f x ¢在(1,)+∞存在唯一零点;当0a =时, ()f x ¢在(1,)+∞没有零点. ………………………………………………7分 (2)由已知得ln (2)e xm x x x <---在(]1,0上恒成立. ………………………………8分设()ln (2)e xh x x x x =---,(0,1]x ∈,则1()(1)(e )xh x x x'=--……………9分因为01x <<时,所以10x ->, 设1()e xu x x =-,21()e 0x u x x¢=+>,所以)(x u 在(0,1) 上单调递增,………10分又1()202u =<,(1)e 10u =->,由零点存在定理)1,21(0∈∃x ,使得0)(0=x u ,即01ex x =, 00ln x x =-, ………………………………………………12分 且当),0(0x x ∈时,()0u x <,()0h x '<,()h x 单调递减;当(]1,0x x ∈时,()0u x >,()0h x '>,)(x h 单调递增.所以0min 0000002()()ln (2)e 21xh x h x x x x x x ==---=-+,…………………14分 又x x y 221++-=在)1,0(上单调递减,而)1,21(0∈x ,所以)4,3()(0∈x h , 因此,正整数m 的最大值为3.………………………………………………………15分。