a 高一平面向量复习专题
一、选择题
1.化简AC -BD +CD -AB 得（）
A．AB B．DA C．BC D．0
2.设a0 , b0 分别是与a, b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（）
A．a0 =b0B．a ⋅b = 1C．| a0 | + | b0 |= 2 D．| a0 +b0 |= 2
0 0
3.已知下列命题中：
（1）若k ∈R ，且kb = 0 ，则k = 0 或b = 0 ，
（2）若a ⋅b = 0 ，则r
= 0 或b = 0
（3）若不平行的两个非零向量a, b ，满足| a |=| b |，则(a +b) ⋅ (a -b) = 0
（4）若a 与b 平行，则a g b =| a | ⋅ | b | 。

其中真命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4.下列命题中正确的是（）
A．若a⋅b＝0，则a＝0 或b＝0
B.若a⋅b＝0，则a∥b
C.若a∥b，则a 在b 上的投影为|a|
D.若a⊥b，则a⋅b＝(a⋅b)2
r
5．已知平面向量a = (3,1) ，b = (x, -3) ，且a ⊥b ，则x =（）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
6.已知向量a = (cos, sin) ,向量b = ( 3,-1) 则| 2a -b | 的最大值，最小值分别是（）
A．4 2,0 B．4, 4 C．16, 0 D．4, 0
7.下列命题中正确的是（）
A．OA -OB =AB B．AB +BA = 0
C．0 ⋅AB = 0 D．AB +BC +CD =AD
1
2
2 3 2 7 10 13 a r
r
u u u r u u u r
8. ．设点 A (2, 0) ， B (4, 2) , 若点 P 在直线 AB 上，且 AB = 2 AP
，则点 P 的坐标为（
）
A ． (3,1)
B ． (1, -1)
C ． (3,1) 或(1, -1)
D ．无数多个
9. 若平面向量b 与向量 a = (1,-2) 的夹角是180o
，且| b |= 3
A ． (-3,6)
B ． (3,-6)
C ． (6,-3)
D ． (-6,3)
，则b = ( )
10．向量 a = (2, 3) ， b = (-1, 2) ，若 ma + b 与 a - 2b 平行，则 m 等于（ ）
A ． -2
B ． 2
C ． 1
D ． - 1
2 2
11．若 a , b 是非零向量且满足(a - 2b ) ⊥ r
， (b - 2a ) ⊥ b ，则 a 与b 的夹角是（ ）
A ．
B ． 6
C ． 3 2 5
D ．
3 6
r 3 r 1
12．设 a = ( , sin ) ， b = (cos , ) ，且a // b ，则锐角为（ ）
2 3
A ． 30
B ．
600 C ． 750 D ． 450
13．若三点 A (2, 3), B (3, a ), C (4, b ) 共线，则有（ ）
A ． a = 3, b = -5
B ． a - b +1 = 0
C ． 2a - b = 3
D ． a - 2b = 0
14．设 0 ≤< 2，已知两个向量 OP 1 = (cos , sin )， OP 2 = (2 + sin , 2 - cos )，
则向量 P 1 P 2 长度的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 2
15. 下列命题正确的是（ ）
A ．单位向量都相等
B ．若 a 与b 是共线向量， b 与c 是共线向量，则 a 与c 是共线向量（ ）
C ．| a + b | =| a - b | ，则 a ⋅ b = 0
D ．若 a 0 与b 0 是单位向量，则 a 0 ⋅ b 0 = 1
r 0
r r 16. 已知 a , b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 a + 3b = （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4
5 3
5 r r
17.
已知向量 a ， b 满足 a = 1, b = 4, 且 a ⋅ b = 2 则 a 与b 的夹角为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6
4
3
2
18．若平面向量b 与向量 a = (2,1) 平行，且| b |= 2 ， 则 b = ( )
A ． (4,2)
B ． (-4,-2)
C ． (6,-3)
D ． (4,2) 或(-4,-2)
二、填空题
1．若OA = (2,8) ， OB = (-7,2) ，则 1
AB =
3
2．平面向量 a , b 中，若 a = (4, -3) ， b =1，且 a ⋅ b = 5 ，则向量b =
r r r r
3.
若 a = 3 , b = 2 ，且 a 与b 的夹角为600
，则 a - b =
4. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是
5. 已知 a = (2,1) 与b = (1,2) ，要使 a + tb 最小，则实数t 的值为
6.
若| a |= 1,| b |= 2, c = a + b ，且c ⊥ a ，则向量a 与b 的夹角为
→
→
→
→
→
→ →
7．已知向量 a = (1, 2) ， b = (-2, 3) ， c = (4,1) ，若用 a 和 b 表示 c ，则 c =
r r
8．若 a = 1 , b = 2 ， a 与b 的夹角为600 ，若(3a + 5b ) ⊥ (ma - b ) ，则 m 的值为
u u u r u u u r u u u r 9．若菱形 ABCD 的边长为2 ，则 AB - CB + CD =
→
→
→
→
10．若 a = (2,3) ， b = (-4,7) ，则 a 在 b 上的投影为
r r
11．已知向量 a = (cos , sin ) ，向量b = ( 3, -1) ，则 2a - b 的最大值是
12．若 A (1, 2), B (2, 3), C (-2, 5) ，试判断则△ABC 的形状
13．若 a = (2, -2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为
14．若向量| a |= 1,| b |= 2,| a - b |= 2, 则| a + b |=
r 15．平面向量 a , b 中，已知 a = (4, -3) ， b = 1，且 a ⋅ b = 5 ，则向量b =
三、解答题
1.如图，平行四边形ABCD 中，E, F 分别是BC, DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD
=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．
D F C
G E
A B
2.已知向量a 与b 的夹角为60o ，| b |= 4 ,(a + 2b) ⋅ (a - 3b) =-72 ，求向量a 的模。

→→→→
3.已知点B(2, -1) ，且原点O 分AB 的比为-3 ，又b = (1, 3) ，求b 在AB 上的投影。

4．已知a = (1, 2) , b = (-3,2) ,当k 为何值时，
（1）ka +b 与a - 3b 垂直？
（2）ka +b 与a - 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向？
5.求与向量a = (1, 2)，b = (2,1) 夹角相等的单位向量c 的坐标．
r r r r r r r
6.设非零向量a, b, c, d ，满足d = (a ⋅c )b - (a ⋅b )c ，求证：a ⊥d
3 r a
a cos x a y ka 7．已知a = (cos
,sin ) ， b = (cos ,sin ) ，其中0 << <
．
r r
(1)
求证： a + b 与 a - b 互相垂直；
(2)
若 ka +b 与r
-kb 的长度相等，求-的值( k 为非零的常数)．
r r
8. 已知 a , b , c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．
r r r r r
（1）
若 a ⋅ b = a ⋅ c 且 a ≠ 0 ，则b = c
（2） 向量 a 在b 的方向上的投影是一模等于r
（是 a 与b 的夹角），方向与 a 在b
相同或相反的一个向量．
r r 1 9.
平面向量 a = ( 3, -1), b = ( , ) ，若存在不同时为0 的实数 k 和t ，满足条件：
2 2
r = r + (t 2
- 3)b ， r = - r + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k =
f (t ) 。

10.
如图，在直角△ABC 中，已知 BC = a ，若长为2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ 与BC
的夹角
取何值时 BP ⋅ CQ 的值最大？并求出这个最大值。