总结
4.力在坐标轴上的投影 5.合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在
同一个轴上投影的代数和。
6.平面汇交力系的平衡方程（投影方程）：
Fx = 0 Fy = 0
重点难点
1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
合成：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 平衡：力多边形自行封闭。
（2）已知 A 轮重GA，平衡时，欲使α=00 的 B 轮的重量。
B
A
300
600
解：先取A轮为研究对象，受力分析：
y
B A
GA
300
A
FAB
300
300
600
FNA
x
Fx = 0 GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1)
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
600
B
C D
150
300
E A
B FTBC150150300
FTBD
FTBD=G
FAB E
G
解：1.取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
Fx = 0 - FTBC cos300 - FTBD cos450 + FAB cos600= 0 Fy = 0 - FTBC cos600 - FTBD cos450 + FAB cos300-G= 0
y
B
A
30
W C
FB
A
x
300
W
Fc
y
FB
A
x
300
W
Fc
列平衡方程：
Fy = 0， - W -FC cos300 = 0
FC = -W/cos300 = … = -23.1 KN（压力）
Fx = 0， - FB - Fc sin300 = 0
FB = - Fc sin300 = … = 11.6 KN（拉力）
a abcde---力多边形 = F1 + F2+ F3+ F4
ae ---力多边形的封闭边
n 个力的合力:
F3
F1
F2
Fn Fi
FR
o
结论：
汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。
即：合力矢等于各分力矢的矢量和。
关于力多边形法则，注意以下几点:
轴垂直。
4、建立静力平衡方程求解。
例2-2: 如图所示的平面刚架 ABCD , 自重不计. 在 B 点作用一水平力
P , 设 P = 20 kN . 求支座 A 和 D 的约束力 。
B P
A
C
2m
D
4m
解 : 取平面刚架 ABCD 为研究对象画受力图。
B P
FA
A
C
D
FD
平面刚架 ABCD 三点受力，C 为 汇交点. tan = 0.5
300
600
GB
600
300
B
FNA
y
FNB
300
A
FAB
300
x
FBA
x
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
300
A
FAB
300
FNA
300
600
Fy = 0
GB
600
300
-GBcos300 + FBA sin (α+300 ) = 0
B
(2)
FBA
x
y
FNB
x
GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1) - GBcos300 + FBA sin (α+300 ) = 0 (2)
y
Fy
F
Fx
x
y
Fy F
Fx x
投影是代数量，只有大小，没有方向； 而分力是矢量，既有大小，又有方向； 但力在平面上的投影是矢量。
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
二、合力投影定理
z
F1
F2
FR
Fn
O
y
Fi
x
合力 FR 在坐标轴 x，y，z 上的投影分别为
FRx，FRy，FRz
z
F2
FR
F1
Fn
O
FRx = Fx
FRy = Fy
FRz = Fz
合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力 在同一个轴上投影的代数和。
三、合成 由合力的投影，可求出合力的大小和方向：
平面汇交力系，在 xoy 坐标系，则：
FRx = Fx
FRy= Fy
FR=
FR2x
+
2
FRy
表示合力与x轴所夹的锐角 tan = FRy / FRx
10KN
1cm
FR
F3
F1
F2
y
F3
60 F2
o
30
FR
x
F1
测量合力 FR 的大小和方向.
FR=4.4 10=44KN
=22
求汇交力系平衡的步骤
1、选研究对象
（ 1 ）在所选的物体上应作用有已知力和待定未知力 。 （ 2）先选受力情况相对简单的物体，再选受力情况相对
较为复杂的物体。
2、取分离体，画受力图。 3、选择合适的投影轴，应使尽可能多的未知力与投影
F4
X
2、力在直角坐标轴上的分力：
力在平面直角坐标轴上的分力：
y Fy F
力 F 的解析式
Fy j Oi
Fx Fx x
若已知投影Fx 、 Fy ，则力 F 的大小和方向为：
3、投影与分力的比较： 1）联系： 在直角坐标轴上，二者大小相等， 且投影的正负号与分力的指向对应 一致； 但在斜坐标系中，二者大小不等。 2）区别：
若 a到b的指向与n轴正向一致，取正号； 若 a到b的指向与n轴正向相反，取负号。
力在轴上的投影：FB AFra bibliotekA F B
n
n
a
b
b
a
力在轴上的投影是代数量。
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例：F1=F2=F3=F4=100N。求各力在x轴上的投影。
300 F1
F3
F2
450
F1X = 100sin30 F2X = -100cos45 F3X = 0 F4X = -100
FAB = 45 kN FTBC = 9.65 kN y
600
B
C
150
300
D
E A
B
300
FTBC150150300 FTBD
FAB E G
x FTBD=G
解二：
Fy = 0 - FTBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
Fx = 0
FAB = 45 kN - FTBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0
汇交力系平衡的必要和充分条件: 汇交力系的合力等于零.
2、平衡的几何条件：力多边形自行封闭。
F1
F4
F2 F3
平衡
F2
F3
F1 F4
封闭力多边形
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
一、1、力在坐标轴上的投影 F
x
a Fx b
( Fx 为代数量 )
力在轴上的投影：
B F A
n
a
b
F
A
B
n
b
a
正负号的规定：
y
FB
FB
A
x
300
W
Fc
Fc W
（几何法）做封闭力多边形如图。
FC = W / cos300 = 23.1 KN (压力） FB = W tan300 =11.6 KN (拉力）
例题2-4：井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过 滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端 用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大 小和重量及钢索的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB 和钢索BC所受的力。
y
Fi
x
FR = FRx i + FRy j + FRz k
Fi = Fxi i + Fyi j + Fzi k
FR= Fi
FRx i + FRy j+ FRz k = ( Fxi i + Fyi j + Fzi k )
= ( Fxi ) i +( Fyi ) j +( Fzi ) k
FRx i + FRy j+ FRz k = ( Fxi i + Fyi j + Fzi k ) = ( Fxi ) i +( Fyi ) j +( Fzi ) k
B P
FA
A
列平衡方程:
C
D
FD
Fx = 0 P + FA cos = 0 Fy = 0 FA sin + FD = 0
FA = - 22.36 kN FD =10 kN
例2-3 : 挂物架, W =20 KN。 求 AB 、AC 杆的受力。
B
A
30
W C
解：（解析法）
研究对象：销钉 A 。
（对）
于一点的力系称为平面汇交力系。