在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB

V
W Ii R I d V

S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:

由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
( i 1, 2 , , n )
( i , j 1, 2, , n )
y
j -1
度彼此相近。但对低阶近似 (n较小)情况下，后三种的精度
要高于前两种。
基本方法举例 为说明上述基本概念，以图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷 载作用，求悬臂端B的竖向位移 为例，说明基本方法的应用。 图示梁的控制方程为:
2 T V I V I I
I T
C
V
C
I
本法权函数为:
W Ii
RI C i
( i 1, 2 , , n )
4．伽辽金法(Galerkin Method) 本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
W Ii N i ( i 1, 2, , n )
当试函数 u 包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。
B
EI
d y dx
4
4
q 0
其边界条件为:
dy y 0 dx 2 3 d y d y 0 3 dx 2 dx ( x 0)
若取试函数为:
(x l)
y c ( x lx 1 4 l x 2 6 l x )
5 4 2 3 3 2
Vi
，在每个子 域内令权函数等于1，而在
(V i内 ) (V i 外 )
1 W Ii 0
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将类似于有限元 法
2. 配点法(Collocation Method) 子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使余量在指定的n个点 上等于零，这些点称为配点。此法的权函数为:
u
C
i 1
n
i
Ni NC
式中：
Ci
—— 待定系数，也可称为广义坐标； ——取自完备函数集的线性无关的基函数。
Ni
由于 u 一 般只是待求函数u的近似解，因此将式 代入控制方程后将得不到满足，若记：
R I L (u ) f R B B (u ) g
加权余量法
加权余量法的基本概念 加权余量法(Method of Weighted Residuals)或称加权残 值法或加权残数法，是一种直接从所需求解的微分方程及 边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。当 n 有 限时，定解方程存在偏差（余量）。取权函数，强迫余量 在某种平均意义上为零。采用使余量的加权积分为零的等 效积分的“弱”形式。来求得微分方程近似解的方法称为 加权余量法。
W Ii P Pi） （
0 ( x xi ) 0 b ( x x i )d x a 1
x xi x xi xi a xi a , , b b
P、Pi—分别代表求解域内任一点和配点。由于此法只在配点上保证余量为零， 因此不需要作积分计算，所以是最简单的加权余量法 3．最小二乘法(Least Square Method) 本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余量的条件。 若记余量平方和为I(C)，即 I ( C ) R d V R R d V 则极值条件为: I ( C ) 2 ( R ) R d V 0

V
W Ii R I d V

S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必 须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： 1. 试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数 有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫 和勒让德多项式等等。 2. 试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶 导数低一阶的导数连续性。 3. 试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问 题具有对称性，应充分利用它。
基本方法概述 下面以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余量的五种基本方法。对内部 法来说，消除余量的统一格式是:

V
W Ii R I d V 0
( i 1, 2 , , n )
1．子域法(Subdomain Method) 此法首先将求解域V划分成n个子域 子域之外取权函数为零，也即:
B

Ii
V
W Ii R I d V 0
( i 1, 2 , , n )
2．边界法 W 试函数满足控制方程，也即
R I L (u ) f 0
此时消除余量的条件为:

S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
3．混合法 试函数不满足控制方程和边界条件，此时用下式来消除余量。
0 .0 1 0 1 7 q E Il
B
3
0 .1 4 2 4 q l EI
4
伽辽金法解 此时，N x lx 1 4 l x 2 6 l x 消除余量的条件为: l N R d x 0 0 1 I 由此可得:
5 4 2 3 3 2 1
C
0 .0 0 9 0 8 q E Il
B
4
0 .1 2 6 2 q l EI
4
本例各方法的精度比较 本问题的精确解由梁位移计算可得为:
ql
4
B
=
0 .1 2 5 q l EI

4
8EI
由此可得，上述各方法对本例计算的误差依次为: -33.3％；1.75％（22.2％）；13.9％；0.96％；-33.3 ％ ( ) 上面22.2％为式 结果。
不同的权函数 W Ii 和 W B i 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数 u 的不同，余量 R I 和R 可有如下三种情况， 依此加权余量法可分为： 1．内部法 试函数满足边界条件，也即 R B B ( u ) g 0 此时消除余量的条件成为:
q 8 4 E Il
c
代回原式可得:
B
1
7 ql
4
42 EI
配点法解 同上所述，只需选一个配点来建立消除余量的条件。若令:
RI
x 0 .7 5 l
0
可得 : 若令: 则得:
C
q 1 1 4 E Il
B
2
7ql
4
57 EI
RI
C
xl
0
q
2
1 4 4 E Il
B
7ql
4
72 EI
可见不同的配点结果是不一样的。
最小二乘法解 此时消除余量的条件为:

l 0
RI
RI c
dx

l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q E I 1 2 0 x 2 4 l d x 0
可得:
C