2021届全国新高考仿真模拟试题（三）数学（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2020·惠州市高三第一次调研考试试题]已知集合P ＝{x |－2≤x ≤2}，Q ＝{x |lg x >0}，那么P ∩Q ＝( )A ．(－2,0)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]2．[2020·南昌市高三年级摸底测试]复数z 满足1＋iz＝1－i ，则|z |＝( )A ．2iB ．2C ．iD ．13．[深圳市普通高中高三年级统一考试]已知tan α＝－3，则sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．[2020·合肥市高三第一次教学质量检测]下列不等关系，正确的是( ) A ．log 23<log 34<log 45 B ．log 23>log 45>log 34 C ．log 23<log 45<log 34 D ．log 23>log 34>log 455．[2020·安徽省示范高中名校高三联考]如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n >2 020的最小偶数n ，那么在◇和□两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >2 020？和n ＝n ＋1B ．A >2 020？和n ＝n ＋2C ．A ≤2 020？和n ＝n ＋1D ．A ≤2 020？和n ＝n ＋26．[2020·山西省八校高三第一次联考]如图是根据某气压机厂两个车间2016～2019年四年中的年产值情况制成的折线统计图，从图中可以清楚地看出两个车间年产值增减变化的情况，根据折线图，给出下列四个结论：①2017～2018年第一车间年产值的增长速度比第二车间快； ②第二车间四年的年产值的中位数是第一车间四年的年产值中位数的2倍； ③第二车间2019年的年产值是2016年的4倍；④第二车间四年的年产值的平均数是第一车间四年的年产值的平均数的1.5倍． 其中所有不正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．②④7．[2020·广州市高三年级阶段训练题]已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ≥1时，f (x )＝x －2x，则{x |f (x ＋2)>1}＝( )A ．{x |x <－3或x >0}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <－2或x >0}D ．{x |x <2或x >4}8．[2020·南昌市高三年级摸底测试]自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以2为基数，只用0和1两个数码表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(1000001001)2.我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口诀：(7×7)8＝(61)8，(7×6)8＝(52)8，(7×5)8＝(43)8，…，则八进制下(6×5)8等于( )A ．(36)8B ．(37)8C ．(40)8D ．(41)89．[2020·广州市普通高中毕业班综合测试]已知直线l ：y ＝x －2与x 轴的交点为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为( )A ．8B ．6C ．5D ．410．[2020·长沙市高三年级统一模拟考试]函数y ＝x 2e |x |＋1(其中e 为自然对数的底数)的图象大致是( )11．[2020·临川二中模拟]关于函数f (x )＝|cos x |＋cos |2x |有下列四个结论： ①f (x )是偶函数；②π是f (x )的最小正周期；③f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；④f (x )的值域为[－2,2]．上述结论中，正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．[2020·湖南四校联考]在边长为23的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 折叠至二面角A ­ BD ­ C 的大小为120°，连接AC ，构成四面体ABCD (如图)，则此四面体的外接球的表面积为( )A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2020·福州市高中毕业班质量检测]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x ≤2，则z ＝x －3y 的最小值为________．14．[2020·深圳市普通高中高三年级统一考试]设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －n ，则a 6＝________.15．[2020·河南省豫北名校高三质量考评]某药材公司与枳壳种植合作社签订收购协议，根据协议，由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验，并对标准园的枳壳成品按不低于当年市场价的价格进行订单式收购，形成“龙头企业＋合作社＋农户”的快速发展模式．该合作社对2016～2019年的收益情况进年份 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 收益y /万元14264058根据数据可求得y 关于x 的线性回归方程，为y ＝b x －2，则b ＝________. 16．[2020·安徽省示范高中名校高三联考]双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其左、右焦点，线段F 2A 垂直直线y ＝b ax ，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若F 2B →＝BA →，则该双曲线的离心率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(12分)[2020·湖南省长沙市高三调研试题]已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，3a ＝3c cos B ＋b sin C .(1)求角C 的大小；(2)如图，设P 为△ABC 内一点，PA ＝1，PB ＝2，且∠APB ＋∠ACB ＝π，求AC ＋BC 的最大值．18.(12分)[2020·江苏卷]在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.19．(12分)[2020·长沙市四校高三年级模拟考试]为了研究每周累计户外暴露时间是否足够(单位：小时)与近视发病率的关系，对某中学七年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：近视不近视足够的户外暴露时间2035不足够的户外暴露时间3015(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为近视与户外暴露时间有关系？附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．(12分)[2020·合肥市高三调研性检测]已知f (x )＝e x －mx .(1)若曲线y ＝ln x 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y ＝f (x )相切，求实数m 的值； (2)试讨论函数f (x )零点的个数．21．(12分)[2020·合肥市高三教学质量检测]已知椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在直线l 的左上方．(1)若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点F 2，求此时直线l 的方程； (2)求证：△PAB 的内切圆的圆心在定直线x ＝1上．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2020·南昌市高三年级摸底测试]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos αy ＝2sin α(α∈[0,2π)，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y得到曲线C 1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)．(1)求曲线C 的普通方程和曲线C 1的极坐标方程；(2)若射线OA ：θ＝β(ρ>0)与曲线C 1交于点A ，射线OB ：θ＝β＋π2(ρ>0)与曲线C 1交于点B ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．23．(10分)[2020·南昌市高三年级摸底测试]已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋1a ＋|x －1|(a >0)，g (x )＝4－|x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤g (x )的解集包含[1,2]，求a 的取值集合．仿真模拟专练(三)1．答案：C 2．答案：D 3．答案：D 4．答案：D5．答案：D 6．答案：D 7．答案：C 8．答案：A 9．答案：A 10．答案：D 11．答案：B 12．答案：A 13．答案：－7 14．答案：63 15．答案：14.6 16．答案： 217．解析：(1)∵3a ＝3c cos B ＋b sin C ，∴3sin A ＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，∴3sin(B ＋C )＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，∴3(sin B cos C ＋sin C cos B )＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，∴3sin B cos C ＝sin B sin C ，∴t a n C ＝3.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)与∠APB ＋∠ACB ＝π，得∠APB ＝2π3.由余弦定理，得AB 2＝PA 2＋PB 2－2PA ·PB cos ∠APB ＝1＋4－2×1×2×cos2π3＝7.又AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(AC ＋BC )2－3AC ·BC ≥(AC ＋BC )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫AC ＋BC 22＝AC ＋BC24，∴AC ＋BC ≤27(当且仅当AC ＝BC 时取等号)．∴AC ＋BC 的最大值为27.18．解析：(1)因为E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点， 所以EF ∥AB 1.又EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF ∥平面AB 1C 1.(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以B 1C ⊥AB .又AB ⊥AC ，B 1C ⊂平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面AB 1C . 又因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1.19．解析：(1)由题中表格可知，100名学生中，近视的学生有20＋30 ＝50(名)， 所以可估计该中学七年级学生的近视发病率为50100＝12.(2)K 2＝100×20×15－35×30255×45×50×50≈9.09>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为近视与户外暴露时间有关系． 20．解析：(1)曲线y ＝ln x在点(e 2,2)处的切线方程为y －2＝1e 2(x －e 2)，即y ＝1e2x ＋1.令该切线与曲线f (x )＝e x －mx 相切于点(x 0，e x 0－mx 0)，则切线方程为y ＝(e x 0－m )x －e x 0(x 0－1)，∴{e x 0－m ＝e －2e x 0－x 0e x 0＝1，∴(m ＋e －2)[1－ln(m ＋e －2)]＝1.令m ＋e －2＝t ，则t (1－ln t )＝1.记g (t )＝t (1－ln t )，则g ′(t )＝1－(1＋ln t )＝－ln t . 于是，g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (t )m a x ＝g (1)＝1，于是t ＝m ＋e －2＝1，m ＝1－e －2. (2)f ′(x )＝e x －m .当m <0时，f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增，且f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝e 1m－1<0， ∴函数f (x )在R 上有且仅有一个零点． 当m ＝0时，f (x )＝e x 在R 上没有零点．当m >0时，令f ′(x )>0，则x >ln m ，即函数f (x )的增区间是(ln m ，＋∞)， 同理，减区间是(－∞，ln m )，∴f (x )min ＝f (ln m )＝m (1－ln m )． ①若0<m <e ，则f (x )min ＝m (1－ln m )>0，f (x )在R 上没有零点； ②若m ＝e ，则f (x )＝e x －e x 有且仅有一个零点； ③若m >e ，则f (x )min ＝m (1－ln m )<0，f (2ln m )＝m 2－2m ln m ＝m (m －2ln m )，令h (m )＝m －2ln m ，则h ′(m )＝1－2m，∴当m >e 时，h (m )单调递增，h (m )>h (e)>0，∴f (2ln m )＝m 2－2m ln m ＝m (m －2ln m )>m (e －2)>0，又f (0)＝1>0， ∴f (x )在R 上恰有两个零点．综上所述，当0≤m <e 时，函数f (x )没有零点；当m <0或m ＝e 时，函数f (x )恰有一个零点；当m >e 时，函数f (x )恰有两个零点．21．解析：(1)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝12x ＋m 得x 2＋mx ＋m 2－3＝0，由Δ＝m 2－4(m 2－3)>0，解得－2<m <2.x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－3.∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在直线l 的左上方，∴－2<m <1.若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点F 2，则AF 2→·BF 2→＝0， 即(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0， ∴(1－x 1)(1－x 2)＋y 1y 2＝0，(1－x 1)(1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －1(x 1＋x 2)＋54x 1x 2＋m 2＋1＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －1(－m )＋54(m 2－3)＋m 2＋1＝0，化简整理得7m 2＋4m －11＝0，解得m ＝－117或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝12x －117.(2)∵k PA ＋k PB ＝32－y 11－x 1＋32－y 21－x 2＝32－12x 1－m 1－x 1＋32－12x 2－m 1－x 2＝1＋(1－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x 1＋11－x 2＝1＋(1－m )2－x 1＋x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2＝1＋(1－m )2＋m1＋m ＋m 2－3＝1＋－m 2－m ＋2m 2＋m －2＝0， ∴直线x ＝1平分∠APB ，即△PAB 的内切圆的圆心在定直线x ＝1上．22．解析：(1)将曲线C 的参数方程{x ＝2cos αy ＝2sin α(α∈[0,2π)，α为参数)消去参数，得x 2＋y 2＝4，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.曲线C 经过伸缩变换得到曲线C 1，则曲线C 1的参数方程为{x ′＝4cos αy ′＝2sin α，得x ′2＋4y ′2＝16，将x ′＝ρcos θ，y ′＝ρsin θ，代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16. (2)将θ＝β(ρ>0)代入ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16，得1ρ2＝cos 2β16＋sin 2β4，即1|OA |2＝cos 2β16＋sin 2β4，同理1|OB |2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π216＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π24＝sin 2β16＋cos 2β4，所以1|OA |2＋1|OB |2＝116＋14＝516.23．解析：(1)由题意，当a ＝1时，f (x )＝{－2x ＋3，x ≤11，1<x <22x －3，x ≥2， 当x ≤1时，f (x )＝－2x ＋3≥3，解得x ≤0；当1<x <2时，f (x )＝1≥3，无解；当x ≥2时，f (x )＝2x －3≥3，解得x ≥3. ∴f (x )≥3的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )≤g (x )的解集包含[1,2]⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋1a ＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1,2]上恒成立．∵a >0，∴a 2＋1a ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时等号成立，∴不等式a 2＋1a－x ＋x －1≤3－x 在[1,2]上恒成立，即a ＋1a≤4－x 在[1,2]上恒成立，∴a ＋1a ≤2，∴a ＋1a＝2，故a ＝1，即a 的取值集合是{1}．。