【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ） A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a BbB 中，若，则sin cos =∠=（ ）A B C D ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ） A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+ 5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________ 10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________ 11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。

14. 在四边形ABCD 中，BC a DC a ==，，2四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长。

15. 已知∆ABC 的外接圆半径是2，且满足条件2222(sin sin )()sin A C a b B -=-。

（1）求角C 。

（2）求∆ABC 面积的最大值。

四大题证明在△ABC 中A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径 证略 见P159注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边例三 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ C=75︒当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒ 例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161例五 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1︒角C 的度数 2︒AB 的长度 3︒△ABC 的面积 解：1︒cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒ 2︒由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=103︒S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab例六 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒,∠BCD=135︒ 求BC 的长 解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222 即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例七 （备用）△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去当3=k 时 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y x S )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15三、作业：《教学与测试》76、77课中练习补充：1．在△ABC 中，求证：0cos cos cos cos cos cos 222222=+-++-++-AC a c C B c b B A b a 2．如图AB ⊥BC CD=33 ∠ACB=30︒ ∠BCD=75︒ ∠BDC=45︒ 求AB 的长 )211(DCBABCDA【试题答案】一. 选择题： 1. A 提示：a Ab B A a b B sin sin sin sin =∴==，322. B提示： 由题意及正弦定理可得tan B =1 3. C提示：由余弦定理及已知可得cosA =-124. D提示： AC AB BC AC AB BC AB BC →=→+→∴→=→+→→+→，2()()∴→=+∴→=→=+AC AC AC 22523523||5. A提示：长为6的边所对角最大，设它为α则cos α=+-⨯⨯=>16253624518∴︒<<︒090α 6. C提示：由余弦定理可将原等式化为b bc a bc a a c b ac⋅+-=⋅+-22222222 即，2222b a a b =∴= 7. C提示：原不等式可变形为cos()A B +>0 002<+<∴+∈A B B ππ，，A ()从而，C A B =-+∈πππ()()28. B提示：由题意得cos θ=-35或2（舍去） ∴=+-⨯⨯⨯==三角形的另一边长532535221322cos θ 二. 填空题：9. 3612612624--，提示：a Ab B a A B b b b sin sin sin sin sin sin =∴==︒︒=，604562又 a b a b +=∴=-=-123612612624，， 10. a提示：利用余弦定理，得原式=⋅+-+⋅+-=b a b c ab c a c b aca 2222222211. 18提示：由正弦定理得a b c ::::=654设1份为k ，则a k b k c k ===654，，再由余弦定理得cosA b c a bc =+-=22221812. 钝角三角形提示：由cos sin A B >得sin()sin π2->A BA 、B 均为锐角，∴-∈∈πππ20202A B ()()，，， 而y x =sin 在()02，π上是增函数 ∴->π2A B即A B +<π2∴=-+∈C A B πππ()()2，三. 解答题：13. 解：由正弦定理得：sin sin C c a A C ==⨯=∴∠=︒︒62223260120或当∠=︒C 60时，∠=︒-∠+∠=︒B A C 18075()b a A B ==⨯+=+sin sin 22262431 当时，∠=︒∠=︒-∠+∠=︒C B A C 12018015()b a A B ==⨯-=-sin sin 22262431 ∴=+∠=︒∠=︒b C B 316075，，或，，b C B =-∠=︒∠=︒311201514. 解：设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3x 、7x 、4x 、10x 则有37410360x x x x +++=︒ 解得x =︒15∴=︒=︒=︒=︒A B C D 4510560150，，， 连BD ，在∆BCD 中，由余弦定理得：BD BC DC BC DC C a a a a a 2222222422123=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=cos∴=BD a 3此时，DC BD BC 222=+∴∆BCD 是以DC 为斜边的直角三角形 ∴∠=︒CDB 30∴∠=︒-︒=︒BDA 15030120 在中，由正弦定理有：∆A BD AB BD BDAAa a =⋅∠=⋅=sin sin 33222322∴AB a 的长为322 15. 解：（1） R A C a b B =-=-22222且(sin sin )()sin ∴-=-⋅()(sin sin )()sin 2222222A C a b B 即()sin ()sin ()sin 2222222R A R C a b R B -=- 由正弦定理知a c a b b 22-=-() 即a b c ab 222+-=由余弦定理得cosC a b c ab ab ab =+-==2222212∴=︒C 60（2）S ab C =12sin=⋅⋅⋅⋅︒122260R A R B sin sin sin=⋅=-+--=-︒-︒--=+-323318060312sin sin [cos()cos()][cos()cos()][cos()]A BA B A B A B A B∴当A ＝B 时，S 有最大值3121332()+=。