专题九：数列的极限与函数的导数【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。

纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。

从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：1)c c c n (lim =∞→是常数）,2)01lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。

（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。

（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。

（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。

（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。

【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。

对00、∞∞、∞-∞、∞•0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。

例如（2004年辽宁，14）πππ--→x x x x cos )(lim=【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故πππ--→x x x x cos )(lim=x x x cos )(lim ππ+→=π2-。

2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。

例如：（2004年广东,4）-+++-+∞→131211(lim n n n n …+12112+-++n nn n )的值为…（ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）21（D ）1【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限Θ12112+-++n n n n =11+-n ，∴原式=)1(lim +-∞→n n n =-1，故选)(A 。

3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和qa s -=11及重要应用。

例如（2004年上海，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→++++n n a a a a Λ=38，则=1a 【分析】Θ数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是412=q 的等比数列，∴)(lim 12531-∞→++++n n a a a a Λ=211q a -=38，解得1a =2。

4，当且仅当()()a x f x f ox x x x ==+-→→lim lim 0时，()a x f ox x =→lim ，0x x =时()x f 可有定义也可无定义。

例如下列命题正确的是…………( ) (A )若()1-=x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()222++=x xx x f ,则()2lim 2-=-→x f x ，)(C 若()xx f 1=,则()0lim =∞→x f x ， (D)若⎩⎨⎧<+≥=)0(1)0()(x x x x x f ,则0)(lim 0=→x f x 。

【分析】Θ(A )中-→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D)0)(lim 0=+→x f x ，1)(lim 0=-→x f x ，故()B 是正确的。

5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。

6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。

例如||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？【分析】1||lim |0||0|lim 00=∆∆=∆-∆+++→∆→∆x x x x x x Θ，xx x ∆-∆+-→∆|0||0|lim 0 1||lim 0-=∆∆=-→∆xx x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。

7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。

8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。

导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。

【经典题例】【例１】求下列数列的极限： （１）)310(lim +-∞→n l n l gg n ；（２）θθθθn n n n n sin cos sin cos lim +-∞→（20πθ≤≤）； （３）)]11()31()21()1(1[1lim a nn n a n a n a n n -+++++++++∞→Λ；（４）已知0>a ，数列{n a }满足nn a a a a a 1,11+==+，若{n a }的极限存在且大于零，求n n a ∞→lim 的值。

【例２】求下列函数的极限： （1）22312lim4---+→x x x （2）2sin 2cos cos lim2x x xx -→π（3）)1311(lim 21xx x ---→ （4）)11(lim 22--+∞→x x x x【例３】求下列函数的导函数：（１）)(x f ＝)sin (cos x x e x +-； （２）)(x f ＝)2(ln cos 2x ； （３）)(x f ＝21lgx x x +-； （４）已知)(x f ＝||323x x x +，求)0(f '。

【例４】设121-++++=n n q q q a Λ（1,2≠∈*q N n ），=n A （11a C n + n nn n n a C a C a C +++Λ3322）。

（Ⅰ）用q 和n 表示n A ；（Ⅱ）当13<<-q 时，求n nn A 2lim ∞→的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求xqx x 11lim 30-+→的取值范围。

【例５】过点（2，0），求与曲线32x x y -=相切的直线方程。

【例６】（2004全国卷二，22）已知函数x x x f -+=)1ln()( ，x x x g ln )(=。

（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）设b a <<0，证明2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<。

【例７】（2004广东卷，21）设函数)(x f =)ln(m x x +-，其中常数m 为整数。

（Ⅰ）当m 为何值时，)(x f 0≥；（Ⅱ）定理：若函数)(x g 在[b a ,]上连续，且)(a g 与)(b g 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈使0)(0=x g 。

试用上述定理证明：当整数1>m 时，方程)(x f =0，在[m e m e m m ---2,]内有两个实根。

【例８】溶液自深18cm ，顶直径12cm 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12cm 时，其水平下落的速度为1cm ∕min ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？【热身冲刺】一、选择题： 1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（）)(A n m m m )1(lim -∞→； )(B nn mm )1(lim -∞→； n n n C )9999.0()1(lim )(-∞→； )11(lim )(2n n e n n D -∞→++。

2、已知65252lim 221-=+--→ax x x x ，则常数a 的值为…………………………………（ ）65)(-A （B ）56- 526)(-C 526)(D ； 3、)1ln(3[lim 111x e xx -++--→]的值是………………………………………………（ ）0)(A 1)(B e C )( )(D 不存在；4、若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-≥-+-+=)0()01(1111)(3x a x x x x x f 且在点0=x 处连续，则=a （ ）23)(A 32)(B 0)(C 1)(D5、若)1(-x f 为偶函数，且)1(-'f 存在，则=-')1(f ……………………（ ）（A ）0 )(B x - )(C 1 )(D -1； 6、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）(A) (B) (C) (D)7、函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是……………………………（ ）（A ）0.>a 0)(≥a B 0)(<a C （D ）0≤a 8、(2004江苏卷，10)函数13)(3+-=x x x f 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ）（A ）1,-1 （B ）1,-17 （C ）3,-17 （D ）9,-199、)(x f 、)(x g 分别是定义R 上的奇函数和偶函数。

当0<x 时，0)()()()(>'+'x g x f x g x f ，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）（A ）（-3，0）Y （3，∞+） )3,0()0,3)((Y -B （C ）),3()3,(+∞--∞Y )3,0()3,)((Y --∞D 10、三次函数)(x f =b bx x 333+-在[1，2]内恒为正值的充要条件为………… （ ）（A ）21≤≤b )(B 0<b )(C 21<<b )(D 49<b ； 二、填空题： 11、曲线2212x y -=与2413-=x y 在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）；12、a x f =')(，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()2(lim0 ；13、已知)(x f 是x 的一个三次多项式，若2)(lim 2-→x x f x =4)(lim 4-→x x f x =1，则3)(lim 3-→x x f x = 14、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆后得图形2P ，然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形3P ，4P ，……，n P ，……，记纸板n P 的面积为n S ，则n n S ∞→lim =1P 2P 3P4P三、解答题：15、已知函数)(x f 在定义域R 上可导，设点P 是函数=y )(x f 的图象上距离原点0最近的点。