7-8 边际分析、弹性分析
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与经济问题最优化
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第八节 边际分析、弹性分析与经济 问题的最优化
一、边际分析 二、弹性分析 三、经济问题的最优化
第七章
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一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f ( x 0 ) 边际的经济意义:当 x x 0时, x 改变一个单位, y 改变
f y ( x0 , y0 ) 表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变, y每改变一
个单位，函数z=f(x,y)改变 f y ( x0 , y0 ) 个单位
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例1 设Cobb-Douglas生产函数为 P(K, L) = 20K0.3L0.7。 其中P表示产量、 K表示资本、 L表示劳动。求 P’K(1,1) 及 P’L(1,1) ，并解释其含义。 解： P’K =6K-0.7L0.7 ， P’K(1, 1)= 6(1)-0.7(1)0.7 = 6 含义: P’K= 6 表示当劳动保持1个单位不变， 且当资本为1个单位时，每增加一单位的资本，产 量约增加6单位。称为资本的边际生产量。 P ,L=14K0.3L-0.3 ， P’L(1, 1)=14(1)0.3(1)-0.3 = 14 含义: P’L = 14 表示当资本保持1个单位不变， 且当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产 量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。
的价格.需求量 Q
Q p
1 1
Q 2 对价格p1,p2的偏导数为边际需求函数：
2
表示乙商品的价格 p
保持不变的情况下，
1
甲商品的价格
p
1
变化时，甲商品需求量Q
的变化率，
称其为甲商品关于自身价格 p 1 的边际需求；
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Q p
1 2
表示甲商品的价格 p
1
保持不变的情况下，
1
乙商品的价格 p 2 变化时，甲商品需求量Q
'x (20 ,50 ) 來逼近Q 用Q 是恰当的。 ( 21 , 50 ) Q ( 20 , 50 )
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2. 边际需求 设两种相关商品甲和乙的需求函数为：
Q ,p f p ,p 1f 1p 1 2 Q 2 2 1 2
其中 Q 1 , Q
2
p1, p 为甲，乙商品需求量，
1
2
分别表示甲和乙
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3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释
假设有两种商品 A 与 B。p1 与 p2 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格。函数 Q1（p1, p2） 表示商品 A 的需求函数，函数 Q2（p1, p2）表示商品 B 的需 求函数。则函数恒有下列关系：
Q 1 p 1
0 ,
Q 2 p 2
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例2 已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人， 2 3 2 日产量由二元函数 Q ( x , y ) 1000 x 300 y x y x y 决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人， 若增加熟练工1人，问产量增加多少？
Q (20,50) 解： 根据题意，必须求得 x
的变化率，
称其为甲商品关于相关价格 p 2 的边际需求；
Q 2 p1
Q p
2 2
Q 的边际解释可与 p
1 1
Q p
1 2
的边际解释类似.
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3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释
两种商品之间的关系:
两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。 替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另 一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪 肉和鸡蛋等。 互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的 需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、 CD机和光盘等。
一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f ( x 0 )
1. 定义： 二元函数 z f (x, y) 的偏导数f x ( x0 , y0 )和 f y ( x0 , y0 )
分别称为 f ( x , y ) 在点(x0,y0)关于 x 和 y 的边际。 d f (x ,y x ,y ) 边际的经济意义： fx( 0) x x 0 0 0 d x f x ( x0 , y0 )表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一 个单位，函数z=f(x,y)改变 f x ( x0 , y0 ) 个单位
0 ,
即： 商品 A 的价格 p1 上升，则商品 A 的需求量会下降。
商品 B的价格 p2 上升，则商品 B的需求量会下降。
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两商品在价格 (p1, p2) 处为替代型
Q 1 1 2 p 2
( p , p ) 0 ,
Q 2 1 2 p 1
( p , p ) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量增加。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的增加。 两商品在价格 (p1, p2) 处为互补型
Q 1 1 2 p 2
( p , p ) 0 ,
Q 2 1 2 p 1
( p , p ) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量减少； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量减少。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的减少。
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例3 两种商品 A 与 B，当其价格分别为 x 与 y 时 的需求函数为 f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函数) g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函数) 试问这两种商品为替代型还是互补型？
2 Q ' 1000 2 xy 3 x 因为, x
2 Q ' ( 20 , 50 ) 1000 2 ( 20 )( 50 ) 3 ( 20 ) 1800 x
所以, 日产大约会增加1800单位。
实际上，日产量增加的真实值为 Q ( 21 , 50 ) Q ( 20 , 50 ) 1809
f(x 0) 个单位 .
边际的实质: 反映了一种经济变量随另一种经济变 量变化的快慢程度. 现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经 济变量变化的情况。例如, 某种品牌的电视机的销售 情况，除了受本品牌电视机的价格影响外 , 还受其他 品牌同类型电视机的价格的影响。边际的概念也可推 广到多元函数的情形。 3