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数 学 的 实 践 与 认 识
37 卷
图 1 沪深股市边缘分布的QQ 图
图 2 概率积分变换后的散点图
用 M a t lab7. 0 编 程 计 算, 可 得 Gau ssian Cop u la,
表1
t2Studen t Cop u la 的极大似然估计结果, 如表 1 所示. 方法2: 令X 和Y 是一组随机变量, 由 < 是A rch im edean
Κu
—
0. 5050
0. 7967
—
0. 6800
Κl
—
0. 5050
—
0. 9032
0. 7576
通过以上估计结果, 我们可以发现 Gau ssian Cop u la 无法反映尾部的变化; t2Cop u la 能
够反映捕捉到尾部的变化, 且上尾与下尾变化相同, 这是由 t2Cop u la 的对称性所决定的;
票市场表现出在下降阶段比上升阶段具有更强的相关性.
本文先对椭圆 Cop u la 函数比较. 以往,
表5
在 用相关结构建 模 时, 常 常 使 用 Gau ssian Cop u la 函数, 下面用A IC 准则, 说明t2Cop u la 函数明显优于 Gau ssian Cop u la 函数.
∫ ∫ C
Θ, t
Τ(u1,
u2)
=
t1Τ (u 1 ) -∞
t-Τ 1 (u2)
1
- ∞ 2Π(1 -
1 × exp Θ2) 2
1-
s2 - 2Θst + t2 Τ(1 - Θ2)
- (Τ+ 2)
2
dsd t
3.
Gum b le
Cop u la
的分布函数为
C∆ Gu(Fra bibliotek1,u2)
=
exp [ -
(1. 鲁东大学 数学与信息学院, 烟台 264025) (2. 海军航空工程学院, 烟台 264001)
摘要: 研究了Cop u la 函数对沪深股市的相关性建模问题. 许多学者用Gau ssian Cop u la 建模, 但是它无法 捕捉到尾部变化, 尾部相关系数不存在. 用 t2Cop u la 度量中国股市的相关性, 捕捉到了尾部变化, 并计算出 了尾部相关系数, 克服了 Gau ssian Cop u la 对相关性建模的不足, 并通过 A IC 准则比较得到 t2Cop u la 优于 Gau ssian Cop u la. 最后对 3 种A rch im edean Cop u la 进行比较, 通过比较它们与经验分布函数的距离, 说明 Gum b le Cop u la 更加适用于中国的金融市场. 关键词: Copu la; 尾部相关系数
图 1 是边缘分布分别服从自由度为 2, 6 的 t 分布的QQ 图. 可以看出边缘分布近似服从 不同自由度的t 分布. 自由度为2 的t 分布一阶矩不存在, 所以线性相关系数不能度量两者之 间的相关性, 因此用多元正态分布, 多元 t 分布来描述联合分布很不合理. 这里用Cop u la 函 数进行研究, 此时连接函数的 Θ已不再是线性相关系数. 根据边缘分布的结果, 做概率积分变换, 可以得到如下概率积分变换后的散点图, 如图2 所示.
Gum b le Cop u la 在分布上尾处的变化非常敏感, 能够很快捕捉到上尾相关的变化; C layton
Cop u la 在分布的下尾处十分敏感, 能够很快捕捉到下尾的变化; BB 1 Cop u la 的上尾和下尾
变化都较明显, 但估计结果表明下尾相关系数明显大于上尾相关系数, 这也进一步说明了股
Cop u la 函数的.
下面给出三种A rch im edean Cop u la 函
数的比较结果. 通过比较三种函数与经验分
布函数[6]的距离来选择最好的Cop u la 函数.
作 三种Cop u la 函数与经验分布比较的
等高线图, 其中有数字标识的为 Gumm b le
得到参数估计结果后, 根据尾部相关系数与Cop u la 函数关系的定义[8], 可以求得不同
Cop u la 结构下的尾部相关系数. 如表 4.
4 结果分析
以上得到的Gau ssion Cop u la 函数的相关系数的估计值为0. 9109, 而二元正态的估计值 为 0. 9333, 即Cop u la 函数的相关系数估计值略小于二元正态的估计值, 这进一步说明了所 建模型的正确性.
近几年, Cop u la 理论及其在金融上的应用在国际上取得了极大的进展. Ska r[1]于 1959 年提出Cop u la 函数以来, 1999 年N esen R B [2]比较完整地介绍了Cop u la 理论, 详细介绍了 Cop u la 的定义, 构建方法, A rch im edean Cop u la 及相依性. 此后, Cop u la 理论已在统计上 得到广泛的应用并开始运用于金融领域. 但是国内对Cop u la 的研究甚少, 张尧庭[3—4]从理论 上探讨了Cop u la 在金融上应用的可行性, 但对Cop u la 函数的分类研究以及相关的实证研究 还没有完全开展起来.
第 37 卷第 24 期
数学的实践与认识
V o l137 N o124
2007 年 12 月 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y D ecem. , 2007
几种Copula 函数在沪深股市相关性建模中的应用
李 娟1, 戴洪德2, 刘全辉1
{ (-
lo g u 1) ∆ +
(-
由 c (u 1, u 2, …, u n, …uN ) =
5C (u 1, u 2, …, u n, …uN ) 5u 1…5un…5uN
可得密度函数为
c (u1, u2) =
C u1u2
ln u 1 ln C
∆- 1
ln u 2 ln C
∆- 1
[ (∆-
1) (-
Cop u la Θ
C
Θ Ga
0. 9109
C
Θ, t
Τ
0. 7458
∫ Cop u la C 的母函数, 则X
和Y 的Kenda ll 的 Σc =
1+
4
1 0
<( t) <′( t)
d t,
由此可以推导得到以下的
关系式如表 2, 并根据下表确定参数的取值.
采用方法 2 进行参数估计, 估计结果如表 3.
图2 表明积分变换后的数据近似服从均匀分布, 且深圳股市和上海股市的上尾和下尾都具 有较强的相关性, 所以用 t2Studen t Cop u la 代替Gau ssian Cop u la 捕捉尾部变化具有实际意义. 3. 2 Copula 函数的选取及参数估计
选取提到的 5 种Cop u la 函数并选用不同方法进行参数估计. 方法1: 本文采用二步估计对Cop u la 函数进行参数估计. 文献[7]已经将二步估计与一步 估计作了比较, 得到二步估计依然是有效估计.
得密度函数为
c (u1, u2) =
(
u
1
Η-
1) ∆-
1
(u
2
Η-
1) ∆-
1
u
1
Η-
1u
2
Η-
1C 1+ 2Η(C -
Η-
1) ∆ ( (C - Η -
1) -
Η+ Η∆C - Η)
3 实证分析
我 们选取了 1998201201 日—2004211204 日上证综合指数 (1B 0006) 和深圳成分指数 (390001) 的每日收盘价为样本, 共 1486 组有效数据. 将价格定义为市场每日指数收盘价, 收 益 R t 定义为 R t = 100 ( In p t - In p t- 1). 3. 1 边缘分布函数的选取
对数似然值 A IC
Gau ssian Cop u la - 4114. 4 5. 5389
t (4) 2Cop u la - 4099. 4 5. 5188
表5 给出了t2Cop u la 与Gau ssian Cop u la
的比较, 通过计算的A IC 值, 可以知道, t2
Cop u la 函数在实际应用中是优于 Gau ssian
Cop u la 理论的出现和应用为这些问题的解决提供了新的路径. Cop u la 理论构建金融 模型时, 可以将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究, 其中边缘分布的选 择 不受限制, 而且若对随机变量作严格单调增变换, 由Cop u la 函数导出的一致性和相关性 测度的值不会改变. Cop u la 能够全面描述随机变量的联合性质及一个分布中的每一点的随 机变量的相关性, 使得我们可以借此研究用线性相关或V aR 不能描述的相关极端事件的一 些问题. 因此建立在Cop u la 理论上的模型更实用、更有效.
24 期
李 娟, 等: 几种Cop u la 函数在沪深股市相关性建模中的应用
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5 ( t) Σ ΚU ΚL
表2
Gum b le (- In t) Η 1- 1 Η 2 - 21 Η
0
C layton
BB 1
( t- Η- 1) Η ( t- Η- 1) ∆
Η (Η+ 2) 1 - 2 ∆(Η+ 2)
0
2 - 21 ∆
2- 1 Η
2- 1 ∆Η
表3
C
∆ Gu
(
∆Ε
1)
C
Η cl
(
Η>
0)
CB∆,BΗ1 (Η= 1, ∆Ε 1)