θ
由题意可得，质心的速度为：
v ( R r )
又由于圆盘的速度等于质心的速度，故有
v盘 v ( R r )
故有： 则系统的动能为：
盘
v盘 R r r r
Ek
1 2 1 2 1 1 1 Rr 2 2 2 mv J盘 mR - r ( mr 2 )( ) 2 2 2 2 2 r
cx kx p(t ) m x
带入数据后可得,该系统运动方程为：
400 x 17000 x 240 sin 3t 0 275 x
（2）由（1）可知，系统的固有频率为：
n
系统的阻尼比为：
k 17000 7.862rad / s m 275
2
1 . 1 9 9 4 1m 0
h tan 1
故有：
2 1 2 0.0925 1.199 tan 2.67 rad 2 2 1 1 1.199
xu hu pu 1.199 104 240 0.0288 m
因此，系统的稳态响应为：
I 0 a k1 a l k2 l 0
整理可得，系统运动方程为： 1 2 ml (a 2 k1 l 2 k2 ) 0 3 （2）由系统运动微分方程，求固有频率：
n
keq meq
a 2 k1 l 2 k2
3(a 2 k1 l 2 k2 ) 1 2 ml 3 ml 2
对于激励 p2 (t ) ，求其阻尼比
2
p 2 0.7992 n 7.862
2
对应的频响函数的幅值和相位角分别为：
hu 2
1 1 k (1 22 )2 (22 )2 1 1 17000 (1 0.79922 )2 (2 0.0925 0.7992) 2

1.507 104
h 2 tan 1
所以
22 2 0.0925 0.7992 tan 1 0.388rad 2 1 2 1 0.79922
xu 2 hu 2 pu 2 1.507 104 (120) 0.0181m
3 mg ( R r ) sin 0 m( R r ) 2 2
其中
sin ，因此系统的运动方程为：
3 mg ( R r ) 0 m( R r ) 2 2
（2）由（1）中可得系统的固有频率为：
n
k m
mg ( R r ) 3 2 m( R r ) 2
x(t ) xu sin(t ) 0.0288 sin(3t 2.67) m
3、 已知频率响应函数 H( )
1 ， 当阻尼比 =0.1，0.3，0.5，0.7 时， 1 2 j
2
分别画出该频率响应函数的幅频特性曲线以及相频特性曲线的大致形状。
4 、已知频率响应函数 H( )
u 2 h 2 p 2 0.388
运用叠加原理，求得稳态响应为：

3
1.435rad
x(t ) 0.0288sin(3 t 2.67) 0.0181cos(2 t 1.435)
3、总结求单自由度系统对一般激励的稳态响应的主要步骤。 解： （1）写出系统的运动方程； （2）若信号为简谐激励，直接通过公式进行求解； 若信号为非简谐激励，则将此信号通过傅里叶级数展开（对于周期激励） 或者傅里叶变换（对于非周期激励）分解为在频域内分布的谐波分量。 （3）分别求各谐波分量激励下的强迫振动响应； （4）运用叠加原理，将各谐波分量激励对应的强迫振动响应叠加，就可得到 相应的强迫振动稳态响应。
ln
代入已知数据，可得：
1 n
xu (t ) 2 xu (t nTd ) 1 2
1 1 ln 0.2996 10 5% 预估阻尼比很小，故可简化：

2
解得， 0.0477 （2）阻尼比 2%
1 ，故：
2 ln
解得， n 12.8 故经过大约 12.8 个周期后，振幅可以衰减到最大振幅的 20%以下。
2 1 n ，刚度 k 2 105 N/m ， 2 2 k n 2n j
n 7 rad/s， 当阻尼比 =0.1，0.3，0.5，0.7 时， 分别画出该频率响应函数的幅
频特性曲线以及相频特性曲线的大致形状。
机械振动第四次作业参考答案
1、如下图， 一个弹簧-质量-阻尼系统放置于一小车之上。 已知 m=10kg， b=20N.s/m， k=100N/m，忽略小车的质量。假设小车的运动 u 已知，试： （1）建立系统的运动方程； （2）求系统的固有频率。
2g 3( R r )
2、某单自由度弹簧-质量-阻尼系统，已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m，阻尼 为 400 N/(m.s-1)，受到 p(t ) 240sin 3 t N 的简谐力的作用，试： （3） 写出系统的运动方程； （4） 求其稳态响应。
（1）解：由题意可知，该系统为单自由度系统受迫振动，其运动方程为
解： （1）根据力的平衡可得：
my ( y u)b ( y u)k 0
代入参数，可得运动方程：
10 y 20 y 100 y 20u 100u
（2）无阻尼固有频率：
n
阻尼比：
k 100 10rad / s m 10

系统固有频率：
c 20 10 2 mk 2 100 10 10
1.199 104
h1 tan 1
21 2 0.0925 1.199 tan 1 2.67rad 2 1 1 1 1.1992
所以
xu1 hu1 pu1 1.199 104 240 0.0288m
u1 h1 p1 2.67 0 2.67rad
1 n
1 20%
n
k ， m
① 由于 所以
1 ，所以 d n
2 2 0.799s k m
Td
所以衰减时间 t:
d

t 12.8 Td 10.23s
或②：
d 1 2 n 1 0.022
Td 2
17000 7.86rad / s 275

系统的频率比为：
c 400 0.0925 2 mk 2 275 17000
1
p 3 1.199 n 7 . 8 6 2
对应的频响函数的幅值和相位角如下所示：
hu

1 1 k (1 12 )2 (21 )2
1 1 17000 (1 1.1992 ) 2 (2 0.0925 1.199)
d
0.799s
3、举一个单自由度系统的工程实例，说明其中的质量、刚度、阻尼与实际工程 系统的哪些参数有关。
机械振动第三次作业参考答案
1、如下图，质量为 m 半径为 r 的圆盘在半径为 R 的轨道上做纯滚动，试： （1）建立系统的运动方程； （2）求系统的固有频率。
R
m r
（1）解： 如右图所示： 以最低点 O 点为平衡位置,轨道圆心设为 O ,广义坐标为转角 ， 逆 时针方向为正方向。
机械振动第二次作业参考答案
1、如下图所示的单自由度系统，均匀刚性杆的杆长为 l，质量为 m， （计算时考 虑杆关于铰点的转动惯量������������ = m������2 ） ，试：
3 1
k1 O
k2 m
a
θ
l
（1）建立系统的运动方程； （2）求系统的固有频率。 解： （1）以系统的静平衡位置为初始位置，铰点 O 为坐标原点，转角 为广义坐 标，顺时针方向为正方向。 根据力矩平衡可得：
d 1 2 n 3rad / s
2、某单自由度弹簧-质量-阻尼系统，已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m，阻尼
为 400 N/(m.s-1)，受到 p1 (t ) 240sin 3 t N 和 p2 (t ) 120cos 2 t N 两 3
3 2 2 mR r 4
以 O 点为重力Βιβλιοθήκη 能参考点，则此时系统的势能为：Eu mg( R r )(1 cos )
由功能原理得：
d 3 2 0 ( EK Eu ) mR r mg ( R r ) sin dt 2
化简后可得：
2、某单自由度弹簧-质量-阻尼系统，已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m： （1） 如测得系统经过 10 个周期后，振幅衰减为最大振幅的 5%，试计算系 统的阻尼比； （2） 如已知系统的阻尼比为 2%， 请估计经过多长时间系统的振动可以衰减 到最大振幅的 20%以下。
解： （1）根据题意可得，系统为欠阻尼自由振动系统。 由对数衰减率定义可得：

n
k 17000 7.862rad / s m 275

c 400 0.0925 2 mk 2 275 17000
对于激励 p1 (t ) ，求其频率比
1
p 3 1.199 n 7.862
1
对应的频响函数的幅值和相位角分别为：
hu1
1 1 k (1 12 )2 (21 )2 1 1 2 2 17000 (1 1.199 ) (2 0.0925 1.199) 2
个简谐力的同时作用，试： （5） 画出系统的力学模型；
（6） 写出系统的运动方程； （7） 求其稳态响应。 解： （1）力学模型：
x k
p1(t)
c