解：（1）根据题意可得，系统为欠阻尼自由振动系统。 由对数衰减率定义可得：
1 ln xu (t) 2 n xu (t nTd ) 1 2
代入已知数据，可得： 1 ln 1 0.2996 10 5%
预估阻尼比很小，故可简化：
2
解得， 0.0477 （2）阻尼比 2% 1，故：
（1）解：由题意可知，该系统为单自由度系统受迫振动，其运动方程为
mx cx kx p(t)
带入数据后可得,该系统运动方程为：
275x 400x 17000x 240sin 3t 0
（2）由（1）可知，系统的固有频率为：
n
k m
17000 7.862rad / s 275
2 1 ln 1 n 20%
解得， n 12.8 故经过大约 12.8 个周期后，振幅可以衰减到最大振幅的 20%以下。
n
k， m
① 由于 所以
1，所以d n
所以衰减时间 t:
2 2
Td
d

0.799s km
或②：
t 12.8Td 10.23s
n 7 rad/s，当阻尼比 =0.1，0.3，0.5，0.7 时，分别画出该频率响应函数的幅 频特性曲线以及相频特性曲线的大致形状。
机械振动第四次作业参考答案
1、如下图，一个弹簧-质量-阻尼系统放置于一小车之上。已知 m=10kg，b=20N.s/m， k=100N/m，忽略小车的质量。假设小车的运动 u 已知，试： （1）建立系统的运动方程； （2）求系统的固有频率。
机械振动第二次作业参考答案
1、如下图所示的单自由度系统，均匀刚性杆的杆长为 l，质量为 m，（计算时考
虑杆关于铰点的转动惯量������������
=
1 3
m������2），试：
k1
k2
O
a
θ
l
m
（1）建立系统的运动方程； （2）求系统的固有频率。
解：（1）以系统的静平衡位置为初始位置，铰点 O 为坐标原点，转角 为广义坐 标，顺时针方向为正方向。
d
1 2n
1 0.022
17000 7.86rad / s 275
2
Td
d
0.799s
3、举一个单自由度系统的工程实例，说明其中的质量、刚度、阻尼与实际工程
系统的哪些参数有关。
机械振动第三次作业参考答案
1、如下图，质量为 m 半径为 r 的圆盘在半径为 R 的轨道上做纯滚动，试： （1）建立系统的运动方程； （2）求系统的固有频率。
解：（1）根据力的平衡可得： my (y u)b (y u)k 0
代入参数，可得运动方程： 10y 20y 100y 20u 100u
r
Ek

1 2
mv2

1 2
J盘2

1 2
mR - r22

1 2
(1 2
mr2 )( R r )2 r
3 mR r22
4
以 O 点为重力势能参考点，则此时系统的势能为：
Eu mg(R r)(1 cos )
由功能原理得：
d dt
(EK

Eu
)

3 2
mR
k m
mg(R r)
3 m(R r)2
2g 3(R r)
2
2、某单自由度弹簧-质量-阻尼系统，已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m，阻尼 为 400 N/(m.s-1)，受到 p(t) 240sin 3t N 的简谐力的作用，试：
（3） 写出系统的运动方程； （4） 求其稳态响应。
系统的阻尼比为：
c
400
0.0925
2 mk 2 27517000
系统的频率比为：
1

p n
3 1 . 1 9 9 7.862
对应的频响函数的幅值和相位角如下所示：
hu

1 k

1 (1 12 )2 (21)2
1
1


17000 (11.1992 ) 2 (2 0.09251.199) 2

r 2
mg( R

r ) sin


0
化简后可得：
3 m(R r)2 mg(R r)sin 0
2
其中 sin ，因此系统的运动方程为：
3 m(R r)2 mg(R r) 0
2
（2）由（1）中可得系统的固有频率为：
n
R
m r
（1）解： 如右图所示：以最低点 O 点为平衡位置,轨道圆心设为 O ,广义坐标为转角 ，逆 时针方向为正方向。
θ
由题意可得，质心的速度为：
v (R r)
又由于圆盘的速度等于质心的速度，故有
v盘 v (R r)
故有： 则系统的动能为：
盘

v盘 r

R r
根据力矩平衡可得：
I 0

a

k1

a

l

k2
l

0
整理可得，系统运动方程为：
1 3
ml 2
(a2k1
l2k2 )

0
（2）由系统运动微分方程，求固有频率：
n
keq meq
a2k1 l 2k2
1 ml2 3
3(a2k1 l2k2 ) ml 2
2、某单自由度弹簧-质量-阻尼系统，已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m： （1） 如测得系统经过 10 个周期后，振幅衰减为最大振幅的 5%，试计算系 统的阻尼比； （2） 如已知系统的阻尼比为 2%，请估计经过多长时间系统的振动可以衰减 到最大振幅的 20%以下。
1 . 1 99 41 m0
h


tan
1
2 1
2

tan1
2 0.09251.199 1 1.1992
2.67
rad
故有：
xu hu pu 1.199104 240 0.0288 m
因此，系统的稳态响应为：
(3t 2.67) m
3、已知频率响应函数 H()
1
，当阻尼比 =0.1，0.3，0.5，0.7 时，
1 2 2 j
分别画出该频率响应函数的幅频特性曲线以及相频特性曲线的大致形状。
4、已知频率响应函数 H() 1
n2
，刚度 k 2 105 N/m，
k n2 2 2n j