异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角
例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线
到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，
连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，46连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），2
6GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

426∴Cos ∠GHS=。

6
1所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。

61解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，
所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用
向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

B A C
D
F E B 1A 1D 1C 1
G
H S R P
Q 1
则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1），
点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1），向量的坐标为（2，1，-1），1EA F B 1所以这两个向量的夹角θ满足
cos θ==-。

11112
22222)1()1()2()1()2()1()
1(1122)1(-++⋅++--⨯+⨯+⨯-61所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为61
小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。

而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。

当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。

如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。

例2：已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为BC
和AD 的中点，设AM 和CN 所成的角为α，求cos α的值。

解：由已知得，空间向量，，不共面，
且两两之间的夹角均为60°。

由向量的加法可以得到=（+），=+AM 2121-AD AC 所以向量与向量的夹角θ（即角α或者α的补角）AM 满足cos θ，其中·=
（+）·（+）AM NC 212
1-AD AC =（·+·+（）·+·）2121-2
1-=a 2（++1）=a 2；2141-2141-21A B
C
D
M
N
||2=（+）·（+）=（1+1+1）a 2= a 2；AM 2121414
3||2=（+）·（+）=+1 a 2= a 2。

NC 21-AD AC 21-AD AC 4121-4
3所以cos α=| cos θ|=。

32例3：已知空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且BE ：EC=AF ：FD=1：2，EF=，求AB 和CD
所成的角的大小。

7解：取AC 上点G ，使AG ：GC=1：2。

连结EG 、FG ，
可知EG//AB ，FG//CD ，3EG=2AB ，3FG=CD 。

由向量的知识可知=+，设向量和的夹角为θ。

BA CD 则由||2==4+1+4cos θ=7，得cos θ=，所以AB 和CD 所成的角为60°。

2
1二、利用模型求异面直线所成的角
引理：已知平面α的一条斜线a 与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线a 所成的角为θ，与它的射影a ′所成的角为θ2。

求证：cos θ= cos θ1·cos θ2。

证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影，
OB//b ，如图所示。

则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，
过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，连结PB 。

可知PB ⊥AB 。

所以cos θ1=， cos θ=，cos θ2=。

PA OA PA AB OA AB 所以cos θ= cos θ1·cos θ2。

这一问题中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线。

我们不妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角。

很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。

我们可以利用这个模型来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ。

从引理中可以看出，我们需要过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影。

例4：如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角。

A B C D E F G P
b A B O
αM
解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，
直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，
直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°，
所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足
cos θ=cos45°· cos45°=，2
1所以直线AC 与MB 所成的角为60°。

例5：如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D 。

求异面直线AE 与CD 所成的角的大小。

解：过E 作的平行线EF 交AD 于F ，
由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面
ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为60°，
射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为45°，
所以直线与直线所成的角θ满足
cos θ=cos60°· cos45°=，4
2所以其大小为arccos 。

4
2由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到利用线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的介绍，不再重复。

P E D F A B C。