异面直线所成的角的求法
法一：平移法
例1：在正方体1111ABCD A B C D -中，求下列各对异面直线所成的角。
（1）1AA 与BC ； （2）1DD 与1A B ； （3）1A B 与AC 。
法二：中位线
例2：在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB ⊥CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，求直线AB 与MN 所成的角。
变式：在空间四边形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，AB ＝CD ＝2，且MN ＝
，求直线AB 与CD 所成的角。
习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，
求AD 、BC 所成角的大小．
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别
是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．
3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝
∠CSA ＝
2
π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．
4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．
5．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；
(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值
B M A N
C S B ' (图1－28) A ' A B C '
D ' C D F E
法三：补形法
例3：如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC ，求下列各
对异面直线所成的角的正切值.（1）PB 与AC ；(2)AB 与PC 。
法四：空间向量法
例4：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求证：1AE D F ⊥
变式1. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的余弦值。
2.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为BC 和AD 的中点，设AM 和CN 所成的角为α，求cosα的值。
B A
C
D F
E B A D C
3. 已知空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且BE ：EC=AF ：FD=1：2，EF=7，求AB 和CD 所成的角的大小。
法五：证明垂直法
例5：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求1AE D F 与所成的角。
变式：在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB
的中点，12,AA AB BC ===，求1AE D C 与所成的角。
利用模型求异面直线所成的角
模型：引理：已知平面α的一条斜线a 与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线
a 所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。
求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。
A B C
D E F G
1.如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角。
2 已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
（A ）34 （B ）54 （C ）74
(D) 34
3. 如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D 。
求异面直线AE 与CD 所成的角的余弦值。
P
E
D F A
B
C B C B C A 111D
A B C D M
练习题：
1．在正四面体ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，则直线AB 与MN 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿。
2．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿
3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于________________.
4. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，
则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为________________.
5.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为________________.
6．如图1，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成的角的度数为________________.
7。
设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中
点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，
则AB 和CD 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿.
8.如图⊥PA 平面ABCD,ABCD 为正方形，且PA=AB,M 、N 分别
为PB 、CD 的中点，求 （1）PA 与CD 所成的角；
（2）PD 与BC 所成的角；
（3）PD 与AC 所成的角；
（4）MN 与PA 所成角的余弦值；
（5）MN 与BC 所成角的余弦值；
（6）MN 与BD 所成角的余弦值； H G
F E D C B A。