异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

BM ANCSA BC DA 1B 1C 1D 1EF 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt△A 1AG≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。

6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线 (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小；(3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值解：(1)∵ A??平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B?CC′,∴ 直线BA ′与CC ′是异面直线同理，正方体12条棱中的C ′D ′、DD ′、DC 、AD 、B ′C ′所在的直线都和直线BA ′成异面直线(2)∵ CC ′∥BB ′，∴ BA ′和BB ′所成的锐角就是BA ′和CC ′所成的角 ∵ ∠A ′BB ′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°(3)∵ AA ′∥BB ′∥CC ′，故AE 和AA ′所成的锐角∠A ′AE 是AE 和CC ′所成的角 在Rt △AA ′E 中，tan ∠A ′AE ＝A E AA ''＝21，所以AE 和CC′所成角的正切值是21(4)取B ′C ′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥A?B?＝∥AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥AE, 即BF∥AE 且BF=AE.∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B＝22，A′F＝BF ＝5，由余弦定理得： cos∠A′BF＝5105222)5()5()22(222=⨯⨯-+7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

F(图1－29)55B?(图1－28)A?A BC?D?CDFE解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。

则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734∴∠DB1E=cosarc734。

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170，∴∠C1BE=cosarc734170。

练习：8. 如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

9.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求DB 和AC 所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结B 1C 交BC 1于0，过0点作OE∥DB 1，则∠BOE 为所求的异面直线DB 1与BC 1所成的角。

连结EB ，由已知有B 1D=34，BC 1=5，BE=35，∴cos ∠BOE=734∴∠BOE=cos arc 734170解法二：如图②，连DB 、AC 交于O 点，过O 点作OE∥DB 1，过E 点作EF∥C 1B ，则∠OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过O 点作OM∥DC，连结MF 、OF 。

则OF=732，cos ∠OEF=734，∴异面直线B 1D 与BC 1所成的角为cos arc 734。

解法三：如图③，连结D 1B 交DB 1于O ，连结D 1A ，则四边形ABC 1D 1为平行四边形。

在平行四边形ABC 1D 1中过点O 作EF∥BC 1交AB 、D 1C 1于E 、F ，则∠DOF 或其补角就是异面直线DB 1与BC 1所成的角。

在△ADF 中DF=35，cos ∠DOF=734，∴∠DOF=cos arc 734。

课堂练习10. 在正四面体ABCD 中，已知E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 和BD 所成角的余弦值。

补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。

解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734170，∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc734170。

课堂练习：11.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，??二、利用模型求异面直线所成的角模型1 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。

求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。

ED BA在平面?的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，APAO=1cosθ.在直角△ABC中，AOAB=2cosθ.在直角△ABP中，APAB=θcos.所以θθθcoscoscos21==⋅=APABAOABAPAO所以θθθcoscoscos21=证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，OBPAOAPAABOAAB21已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（ D ）（A）34（B）54（C）74(D)34解：设BC的中点为D，连结1A D，AD，易知1A ABθ=∠即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113coc s4os cosAD ADA AD DABA A ABθ=∠∠⋅=⋅=.故选D14. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD4242()C ADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB•+•=•+=•∴+==•ρρρρρρρρρρρΘ而θ2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB--+=-++-+-=PbABOαPEDFAB Cϕ2ϕ1cbaθPαOABBCBCA111DA BCDM如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH462642661611EA FB 1||||1111F B EA FB EA ⋅⋅222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(-++⋅++--⨯+⨯+⨯-6161AB AC AD AM21AB AC NC 21-AD AC AM NC ||||NC AM NC AM ⋅⋅AM NC 21AB AC 21-AD AC 2121-AB AD AB AC 21-AD AC ACAC 2141-2141-21AM 21AB AC 21AB AC 4143NC 21-AD AC 21-AD AC 4121-43327EF EG GF BA 32CD 31BA CD EF BA 32CD 31BA 32CD 3121求：(1)AC 1的长； (2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222||||||))((||))((,2||,)2(.22||,22||,0,21120cos ,21120cos 90,,120,,||||,|:|222||||||))(())((||)1(:b a AB AA AD AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA BD BD BD ab AD AB AB AD AD AB AA AD AA AB AB AD AA AD AB BD AC AB AD AA BA AD BD AD AB AC a AC ab b a AC ab b a AC AD AB ab a b AD AA ab a b AB AA AD AB AD AA AB AA a AD AB b AA AD AB AD AA AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AC AA AC AA AC AC AC +=⋅-⋅-⋅+++=-+-+=⋅=-=⋅--+⋅+⋅+⋅=-++=⋅∴-+=+=+==-+=∴-+=∴=⋅-=︒⋅=⋅-=︒⋅=⋅∴︒>=<︒>=>=<<===⋅+⋅+⋅+++=++++=++=⋅=依题意得由已知得解B ACD FE B 1 A 1 D 1C 1 G HS R P Q BA CDFEB 1A 1D 1 C 1 AB CDMN A B C D E FG2212||b a BD +=∴ 2211124||||,cos ba b AC BD AC BD AC BD +-=⋅>=<∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2224ba b +.判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错； 选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取AB 中点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ；（7）答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)； 三．34，取AD 中点E ，则∠MEN＝90°；四．57，取AC 中点F ，连EF 、BF ，求得BE ＝21AD ＝5，BF ＝21AC ＝32；五．552，分别取AC 、B 1C 1的中点P 、Q ，则PMQN 是矩形，设CC 1＝MQ ＝a ，则MP ＝21a ；六．61，取AC 中点F ，连EF 、BF ，则EF ＝4，BE ＝BF ＝3．异面直线所成的角---作业班级： 姓名： 学号：一、判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线； (11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是( )(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5. 说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1；(4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.6. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )31032 ()()()() 21055A B C D7. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )3013015 ()()()()2A B C D8. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直9. 设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)010. 如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线(A)不一定存在 (B)总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条11. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值四．如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点。