异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。

BM AN CSA BC D A 1B 1C 1D 1EF 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ，又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°,即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。

6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线； (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值 解：(1)∵ A '∉平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B ∉CC′,∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC 、AD 、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE 和AA′所成的锐角∠A′AE 是AE 和CC′所成的角 在Rt △AA′E 中，tan ∠A′AE ＝A E AA ''＝21，所以AE 和CC′所成角的正切值是21(4)取B′C′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥A 'B '＝∥AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥AE, 即BF ∥AE 且BF=AE.∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F ，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B ＝22，A′F ＝BF ＝5，由余弦定理得： cos ∠A′BF ＝5105222)5()5()22(222=⨯⨯-+7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

F(图1－29) 55B ' (图1－28) A 'AB C 'D 'CD FE解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。

则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734∴∠DB1E=cosarc734。

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734，∴∠C1BE=cosarc734。

练习：8. 如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值？9.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.？中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。

连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=35，∴cos∠BOE=734∴∠BOE=cosarc734170解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。

则OF=732，cos∠OEF=734，∴异面直线B1D与BC1所成的角为cosarc734。

解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。

在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。

在△ADF中DF=35，cos∠DOF=734，∴∠DOF=cosarc734170。

课堂练习10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。

ED BA补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。

解法一：如图⑥，以四边形ABCD 为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A 2B 2C 2D 2，连结D 2B ，则DB 1∥D 2B ，∴∠C 1BD 2或其补角就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连C 1D 2，则△C 1D 2C 2为Rt △，cos ∠C 1BD 2=－734170，∴异面直线DB 1与BC 1所成的角是cosarc 734170。

课堂练习：11. 求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。

在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将A 1C 1平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，二、利用模型求异面直线所成的角模型1 引理：已知平面α的一条斜线a 与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线a 所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。

求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。

在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，APAO =1cos θ.在直角△ABC 中，AO AB=2cos θ. 在直角△ABP 中，APAB =θcos . ϕ2ϕ1c b a θP αOA B所以 θθθcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO 所以θθθcos cos cos 21=证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影， OB//b ，如图所示。

则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2， 过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，连结PB 。

可知PB ⊥AB 。

所以cosθ1=PAOA， cosθ=PA AB ，cosθ2=OA AB 。

所以cosθ= cosθ1·cosθ2。

利用这个模型来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ。

需：过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影。

12. 如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角。

解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ， 直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°， 所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足cosθ=cos45°· cos45°=21，所以直线AC 与MB 所成的角为60°。

13. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ D ） （A ）34 （B ）54 （C ）74 (D) 34解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D 14. 如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D 。

求异面直线AE 与CD 所成的角的大小。

解：过E 作AD 的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面ABCD 内的射影为AF ，直线AE 与平面ABCD 所Pb ABO αP EB CB C A 111DA B CD M射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°· cos45°=42，所以其大小为arccos42。