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2、向量空间及线性空间24


3、基变换、过渡矩阵
研究线性空间中向量在不同基下的坐标之间的关系,在图像图形处理中经常用的
基本前提
基1
向量x
基2
1 2 L n
x1
坐标
x2
M
xn
y1
1 2 L
n
坐标
y2
M
yn
如果
i c1i1 c2i2 L cnin
x x11 x22 L xnn x y11 y22 L ynn
n C
过渡矩阵、矩阵的相似关系
T 1 L n B 1 L n CB T 1 L n C T1 L Tn C 1 L n AC
由此得:AC=CB
一个向量在同一个线性变换之下,不同基下的坐标之间
有什么关系?
X= 1 L
x1
n
M
1
L
xn
x1 y1
M
C
M
xn yn
线性方程组解的研究可以转换为向量的线性关系研究
向量空间(线性空间)的抽象定义
1、线性空间的公理化定义应注意以下要素:非空集合、加法和数乘运 算、运算规则、特殊元
另一个定义
常见的线性空间举例
1、常见的Rn,能够直接感受到的R2,R3空间
2、R3空间中所有有向线段的集合,在平行四边形加法和数乘运算下 3、数的双向无穷序列,在无穷序列的加法和数乘运算下
内积和正交
内积的定义:从线性空间到正实数集上的特殊函数,
与矩阵有关的几个子空间
对于任意的 m n矩阵A Col( A) Nul( AT ) Col( A) Nul( AT ) Rm Row( A) Nul( A) Row( A) Nul( A) Rn
以上的结论可以由齐次线性方程组AX=0得到解释
O
an1
an 2
L
ann
a1i
T (i )=(1,2 L
n
)
a2i
M
ani
线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
关于线性变换矩阵的基本前提
1 L n 1 L n 1 L n 1 L T T 1 L n T1 L Tn 1 L n A T T 1 L n T 1 L T n 1 L n B
向量空间
向量空间。实数域上
的称为欧式空间,复数域上的称为酉空间。在向量空间中我们可以用新的视野来看
待线性方程组。
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
y1
n
M
yn
T(X)在基α下的坐标为AX,在基β下的坐标为BY
线性变换及矩阵的值域和核
定义
正交变换与正交矩阵
欧氏空间V上的线性变换T,如果对于V中任意向量x满足 <x,x>=<T(x),T(x)>,即保持向量的长度不变,称为正交变换.
正交矩阵的性质
amnxn bm
可以理解为方程的常数向量
b1
b
b2
M
bm
是否可以表示为系数矩阵列向量的线性组合
a11 a12
a1n b1
M
x1
+
M
x2
+L
+
M
xn
=
M
am1 am2
amn bm
即是否存在非零系数使得向量b可以用向量a1,a2,L an线性表示
2、向量空间的基、坐标
基:以上所有的讨论都基于有限维线性空间。极大线性无关组称为基 (不止一个,所含向量个数相等) 一组向量作为基具有的条件:相互线性无关;空间中的任何向量都可 以由其线性表示。 坐标:一个向量u用一个基线性表示时所用的系数与基中向量次序对应 所构成的标量组,坐标与基和讨论的元素有关。
线性变换
几个相关的基本概念
函数、映射、变换是同一个对象在不同领域的名称,函数定义在传统数集之上、 映射定义在离散对象之上、变换常出现在线性空间的讨论中。
用变换的概念理解线性方程组
矩阵变换
p64
下例给出了如何例如矩阵变换描述并解决实际的人口 迁移变化问题
线性变换
线性变换反映线性空间中向量之间的线性映射关系(保持线性关系的映 射),由于线性空间中的向量都可以表示为基的线性组合,因此,线 性变化与指定基下的矩阵一一对应,线性变换可以用矩阵来表示。
左零空间
一个m×n矩阵A的左零空间是矩阵AT的零空间,是Rm的子空间
Nul (AT )={y:AT y=0 yT A=0}
行空间
一个m×n矩阵A的行空间是矩阵AT的列空间,是Rn的子空间
Row (A)=Col(AT )
基本子空间的维数和基
基本子空间的基和维数都与矩阵的等价阶梯型有关,阶梯型矩阵中的主 元个数等于Col (A)和Raw(A)的维数,也等于矩阵A的秩,記作r;
4、所有次数不超过指定数字n的实数多项式 5、所有指定阶数的实数矩阵
6、[0,1]上所有的实数函数
7、二阶齐次线性微分方程 y''3y'2 y 0 的所有解
线性空间中的特殊元 线性空间的元素0和-u是唯一的
向量空间的结构
主要讨论向量空间中向量之间的关系和表示
1、向量的线性相关和线性无关
非零向量、两个向量之间的倍数关系、线性表示、线性相关、线性无 关、极大线性无关组、维数和有限维向量空间
Rul (A)的维数等于n-r;Rul (AT)的维数等于m-r。
Col (A)的基是阶梯型矩阵中主元列在A中对应列; Raw(A)的基是阶梯型中主元所在行;
Rul (A)的基是阶梯型中非主元列依据自由变量的改进,即非主元列本身 加上ei i位自由变量的序号;
Rul (AT)的基是EA=R中,E的对应R中0行向量的行;
设 =(1,2 L n )为n维向量空间中的一个基,T是空间上的一个线性变换, T (1),T (2 )L T (n )L T (n )在给定基下的坐标为列所构成的矩阵称为T的矩阵,
a11 a12 L a1n
T=[T (1)] ,[T (2 )]
L
[T (n )]
=
a21 O
a22 O
L O
a2n
L
L M M L L L
cnn
yn
yn
cn1
cn2
L
c1n
1
x1
c2
n
x2
L M
cnn
xn
子空间的定义四个基本子空间
1、子空间的定义,一个线性空间的非空子集如果对加法和数乘运算是封闭的。 注意R2不是R3的子空间。
2、生成子空间、矩阵的列空间、行空间、零空间
零空间 列空间
c11 c12 L c1n
1 2 L
n 1 2 L
n
c21 L
c22 L
L L
c2n
L
cn1 cn2 L
cnn
可得
x1 c11 c12 L
x2
c21
c22
L
M L L L
xn
cn1
cn2
L
c1n y1 y1 c11 c12 L
c2
n
y2
y2
c21
c22
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