理科数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33 2.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°3.给定下列命题：①a ＞b ⇒a 2＞b 2；②a 2＞b 2⇒a ＞b ；③a ＞b ⇒b a <1；④a ＞b ⇒1a <1b . 其中正确的命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 4.向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于A ．－1B ．0C ．1D ．2 5.在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是6.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11等于 A ．58 B ．88 C ．143 D ．1767.直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是8.关于直线m ，n 与平面α，β，下列四个命题中真命题的序号是：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n . A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 9.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对10. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于任意的]3,1[∈x ，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(－∞，0] B.)75,0[ C ．(－∞，0)∪)75,0(D.)75,(-∞11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A = －14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3 12.如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →·AO→等于A ．4B ．5C ．6D ．7第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为_______；14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=_______；15.已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________；16.已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，PC PB PA ==，△ABC 是边长为2的正三角形，F E ,分别是AB PA ,的中点，ο90=∠CEF ，则球O 的体积为_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题10分）已知AB→＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →. (1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值．18.（本小题12分）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的斜截式方程，使得： (1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.19.（本小题12分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． (1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．20. （本小题12分）已知Rt △ABC 的顶点A (－3,0)，直角顶点B (－1，－22)，顶点C 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求斜边上的中线的方程．21. （本小题12分）ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． (1)求A ；(2)若22a b c +=，求C sin ．22.（本小题12分）如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ； (2)求证：平面DAC ⊥平面EBC ；数学答案一．选择题： ADACA BDDAD AB 二．填空题：13.0或1 14.1213 15.－23三．简答题：17.解 因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )， 所以AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )， (1)因为AD→∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎨⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ， 解得n ＝－3.(2)因为AC→＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )， BD→＝BC →＋CD →＝(4，m －3)， 又AC→⊥BD →， 所以AC →·BD→＝0， 即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.18.解 ∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0， ∴直线l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即y ＝－34x ＋94(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43.设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.19.解：（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-． 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a …等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．20.解 (1)∵Rt △ABC 的直角顶点B (－1，－22)， ∴AB ⊥BC ，故k AB ·k BC ＝－1. 又∵A (－3,0)，∴k AB ＝0＋22－3－(－1)＝－2，∴k BC ＝22，∴直线BC 的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0. ∵点C 在x 轴上，∴由y ＝0，得x ＝3，即C (3,0)． (2)由(1)得C (3,0)，∴AC 的中点为(0,0)，∴斜边上的中线为直线OB (O 为坐标原点)，直线OB 的斜率k ＝22， ∴直线OB 的方程为y ＝22x .21.（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=，即631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=． 22.(1)证明 连接AE .∵四边形ADEB 为正方形， ∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， ∵G 是EC 的中点， ∴GF ∥AC .又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明 ∵四边形ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，BE ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .∵CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，BC ，BE ⊂平面EBC ， ∴AC ⊥平面EBC . ∵AC ⊂平面DAC ∴平面DAC ⊥平面EBC。