高三数学测试题一选择题:1.已知集合{}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-====B A x x y x B y y A x I ,22log ,22( D ) (A)[)2,0 (B)[)2,1 (C)()2,∞- (D) ()2,02.函数2()lg(31)f x x =+的定义域是 ( B ) (A)1(,)3-+∞ (B)1(,1)3- (C) 11(,)33- (D)1(,)3-∞- 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )(A)3 ,y x x R =-∈ (B)sin ,y x x R =∈ (C) ,y x x R =∈ (D) x 1() ,2y x R =∈4.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( D )(A)a b c << (B)b a c << (C)c b a << (D)c a b <<5. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+0,log 0,3)(21x x x f x x ，若3)(0>x f ,则0x 的取值范围是( A )(A)80>x (B) 00<x 或80>x (C)800<<x (D) 00<x 或800<<x 6.若6π=x 是x x x f ωωcos sin 3)(+=的图象的一条对称轴,则ω可以是( C ) (A)4 (B) 8 (C) 2 (D)17.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是( C )(A)(0,1) (B)1(0,)3 (C)11[,)73(D)1[,1)78.给定函数:①21x y =,②)1(log 21+=x y ,③1-=x y ,④12+=x y ,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( C )(A)①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④9.设.0,0>>b a 若3是a 3与b 23的等比中项,则b a 12+的最小值为( A )(A)8 (B) 4 (C) 1 (D)4110.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C ) (A)34 (B) 48 (C) 96 (D)14411.已知命题p :存在1cos ),2,2(≥-∈x x ππ; 命题x x x q 32),0,(:<-∞∈∀ , 则下列命题为真命题的是( D )(A)q p ∧ (B) q p ∧⌝)( (C) q p ∨⌝)( (D)q p ⌝∧12.若p :z k k ∈+=,2ππϕ,)0)(sin()(:≠+=ωϕωx x f q 是偶函数,则p 是q 的( A )(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件二填空题13.已知{}{}R y y Q a x x P ∈==≤=θθ,sin ,,若Q P ⊇,则实数a 的取值范围是 ; 1≥a14. 已知xx m x f 2112)(+-⋅=是R 上的奇函数,则m = ;1=m 15.已知双曲线1422=-by x的右焦点F,与抛物线x y 122=的焦点重合,过双曲线的右焦点F 作其渐近线的垂线,垂足为M,则点M 的纵坐标为 ; 352±16.已知x a x f p )62()(:-=在R 上是单调减函数;:q 关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3,若p ,q 都为真命题,则实数a 的取值范围是 ;27,3<<a 三.解答题17. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin 2B ＋C2－cos2A ＝72. (1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值. 解 (1)∵ B ＋ C ＝ π－ A ，即B ＋C 2＝π2－ A2， 由4sin 2B ＋C2－cos2A ＝ 72，得4cos 2A 2－ cos2A ＝ 72， 即2(1＋ cos A )－ (2cos 2A －1)＝ 72，整理得4cos 2A － 4cos A ＋1＝ 0，即(2cos A －1)2＝ 0.∴ cos A ＝ 12， 又0°<A <180°，∴ A ＝ 60°.(2)由A ＝ 60°，根据余弦定理cos A ＝ b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝ 12，∴b 2＋ c 2－bc ＝ 3，①又b ＋ c ＝ 3，②∴ b 2＋ c 2＋ 2bc ＝ 9.③ ① － ③ 整理得：bc ＝ 2.④解②④联立方程组得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎨⎧b ＝2，c ＝1.18. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； (Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(Ⅰ)∵n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2 , ∴a 1=1 ∵S n =2-a n 即a n +S n =2 , ∴a n+1+S n+1=2 两式相减：a n+1-a n +S n+1-S n =0 即a n+1-a n +a n+1=0, 2a n+1=a n ∵a n ≠0 ∴211=+n n a a (n ∈N *) 所以，数列{a n }为首项a 1=1，公比为21的等比数列.a n =1)21(-n (n ∈N *) (Ⅱ)∵b n+1=b n +a n (n=1，2，3，…) ∴b n+1-b n =(21)n-1 得b 2-b 1=1 b 3-b 2=21 b 4-b 3=(21)2 ……b n -b n-1=(21)n-2(n=2，3，…) 将这n-1个等式累加，得 b n -b 1=1+11232)21(22211)21(1)21()21()21(21----=--=++++n n n Λ又∵b 1=1，∴b n =3-2(21)n-1(n=1，2，3，…)(Ⅲ)∵c n =n(3-b n )=2n(21)n-1∴T n =2[(21)0+2(21)+3(21)2+…+(n-1)(21)n-2+n(21)n-1] ①而 21T n =2[(21)+2(21)2+3(21)3+…+(n-1)n n n )21()21(1+-] ②①-②得：n n n n T )21(2])21()21()21()21[(2211210-++++=-ΛT n =n n n nn n )21(4288)21(4211)21(14--=---=8-(8+4n)n 21(n=1，2，3，…) 19. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形. 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值. 解: (1) ∵C C AA 11为正方形,AC A A ⊥∴1,又面C C AA 11⊥面ABC , 又面C C AA 11∩面ABC =AC ∴AA 1⊥平面ABC. (2)∵AC=4,AB=3,BC=5,∴222BC AB AC =+,∴∠CAB=︒90,即AB ⊥AC, 又由(1) ∴AA 1⊥平面ABC.知AB A A ⊥∴1,所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则1A (0,0,4), 1C (4,0,4), 1B (0,3,4),B(0,3,0) 设面1A C 1B 与面B 1C 1B 的法向量分别为),,(z y x =,),,(c b a =,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111A C A ,得⎩⎨⎧=-=04304z y x ,令1=y ,则)43,1,0(=n , 同理,)0,1,43(=m ,25161,cos 1625==>=<, 由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为2516. (3)证明: 设),,(z y x D , ,则),,(z y x =,)4,3,0(1-=A ,)4,3,4(1-=BC , 因为B D C ,,1三点共线,所以设 1BC λ=,即)4,3,4(),3,(-=-λz y x ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=λλλ4334z y x , (1)由01=⋅A 得043=-z y (2) 由(1)(2)求得2536,2548,2536,259====z y x λ, 即)2536,2548,2536(D , 故在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，且1BD BC =259. 20. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。

（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）.23)(2b ax x x f ++='由已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+⨯==0)2(113)1(3)1(''f f f 故⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯=+++=++0412*******b a c b a b a 由①②③得 a=2，b=－4，c=5∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

① ②③（3）因为y=f(x)在[－2，1]上单调递增， 所以023)(2≥++='b ax x x f 在[－2，1]上恒成立,由①知2a+b=0, 所以032≥+-b bx x 在[－2，1]上恒成立,∴[]03min2≥+-bbx x , 利用动轴定区间讨论法得① 当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f b x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞21.已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且AB ∥l . (1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；(2)当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解析】 (1)因为AB ∥l ，且AB 边通过点(0,0)，所以AB 所在直线的方程 为y ＝ x .设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎨⎧ x 2＋3y 2＝4y ＝x，得x ＝ ±1.所以|AB |＝ 2|x 1－ x 2|＝ 2 2.又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以h ＝ 2，S △ABC ＝ 12|AB |·h ＝ 2.(2)设AB 所在直线的方程为y ＝ x ＋ m ， 由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4y ＝x ＋m，得4x 2＋ 6mx ＋ 3m 2－ 4＝ 0.因为A ，B 在椭圆上，所以Δ＝ －12m 2＋ 64＞ 0. 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋ x 2＝ － 3m 2，x 1x 2＝ 3m 2－44，所以|AB |＝ 2＝ 32－6m22.又因为BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离，即|BC |＝|2－m |2. 所以|AC |2＝ |AB |2＋ |BC |2＝ － m 2－2m ＋10＝ － (m ＋1)2＋ 11. 所以当m ＝ －1时，AC 边最长(这时Δ＝ －12＋ 64＞ 0)， 此时AB 所在直线的方程为y ＝ x －1.22.已知直线l 的参数方程为,sin cos 2⎩⎨⎧=+-=ααt y t x (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标系方程为θθρcos 2sin 2-=. (1)求曲线C 的参数方程; (2)当4πα=时,求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.解:(1)由θθρcos 2sin 2-=,可得θρθρρcos 2sin 22-=,所以曲线C 的直角坐标的方程为x y y x 2222-=+,标准方程为2)1()1(22=-+-y x ,所以曲线C 的参数方程为ωωω(,sin 21cos 21⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=y x 为参数) (2)当4πα=时, 直线l 的参数方程为,22222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 化为普通方程为2+=x y ,由⎩⎨⎧+=-=+22222x y x y y x 得,20⎩⎨⎧==y x 或⎩⎨⎧=-=02y x 所以直线l 与曲线C 的交点的极坐标为),2(),2,2(ππ。