专题三：三角函数一、选择题1 1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-【答案】C22 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B33．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）在△ABC 中,,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =10 103105【答案】C44 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-【答案】B55．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A66 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x 的最大值为32(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C77．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D88．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A99．（2013年上海市春季高考数学试卷(）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( ) (A)sin y x =(B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B1010．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）04cos50tan 40-=( )223+3 D.221【答案】C 1111．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】D1212．（2013年高考湖北卷（理））将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12π B.6πC.3πD.56π【答案】B 二、填空题1313．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】6 1414．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】255-. 1515．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________31616．（2013年上海市春季高考数学试卷(）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π1717．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.31818．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 1919．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos 3Cπ=-2020．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】2121．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y的最小正周期为___________.【答案】π2222．（2013年上海市春季高考数学试卷(）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______ 【答案】72323．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π322424．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】5-2525．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.【答案】π2626．（2013年上海市春季高考数学试卷(）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________【答案】5三、解答题2727．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =所以2sin cos sin A A A =.故cos A =(II)由(I)知cos 3A =,所以sin 3A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==.2828．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T .所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. 2929．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2222a b ab c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos 322cos cos ,5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值.【答案】由题意得3030．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】3131．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦32.(I)若.a b x =求的值；(II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】3432．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若31sin sin 4A C -=,求C . 【答案】3335．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b AB =,所以,sin 2sin b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC 方向上的投影为2cos 2BA B =3436．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,242sin 1cos 9B B =-=,由正弦定理得sin 22sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以21cos 1sin 3A A =-=因此102sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.3537．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解:(Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x 122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y = 3639．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos||2222=+==ααa a ,1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-b a ∴=b a ∴b⊥a (2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-=∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0∴πβπα61,65==4037．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.4138．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且33()f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ4239．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 532S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴== 4340．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】4441．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 11323cos3042+-⨯⨯=74,∴PA=72;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,o o 3sin sin150sin(30)αα=-,化简得,3cos 4sin αα=,∴tan α=34,∴tan PBA ∠=34. 4642．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos 3cos 0A B A B A B -++-= 即有sin sin 3cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 30B B =,又cos 0B ≠,所以tan 3B =, 又0B π<<,所以3B π=. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。