【解】 f
2
0 P X1 0, X 2 0 0.5 0.4 0.20
0.5 0.3 0.3 0.4 0.27
f (2) (1) P ( X 1 0, X 2 1) P ( X 1 1, X 2 0)
f (2) (2) P ( X 1 0, X 2 2) P ( X 1 1, X 2 1) P ( X 1 2, X 2 0) 0.5 0.2 0.3 0.3 0.2 0.4 0.27 f (2) (3) P ( X 1 0, X 2 3) P ( X 1 1, X 2 2) P ( X 1 2, X 2 1) 0.5 0.1 0.3 0.2 0.2 0.3 0.17
f(3) F(2)(x) F(3)(x) (x) 0.1 0.2 0.1 0.43
0.27 0.135 0.47 0.235 0.27 0.195 0.74 0.17 0.186 0.91 0.616 0.07 0.163 0.98 0.779 0.02 0.115 0.065 0.03 0.009 1 0.894 0.959 0.989 0.998
P X 2 X 3 4 P X 2 1, X 3 3 P X 2 2, X 3 2 P X 2 3, X 3 1 0.1
f S 5 0.05 p 0.1 1 p 0.06 p 0.8。
f (3) (2) P X 1 X 2 0, X 3 2 P X 1 X 2 1, X 3 1 P X 1 X 2 2, X 3 0 0.2 0.3 0.27 0 0.27 0.5 0.195
表 3-2-1（例 3-2-3 的计算结果） (2) f (x) f (x) f (x) f (x) X 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.5 0.3 0.2 0.4 0.3 0.2 0.1 0.5 0 0.3 0.1 0.1 0.2
【解】由卷积公式知 f S 5 P X 1 0, X 2 X 3 5 P X 1 1, X 2 X 3 4 ， 其中 故
P X 2 X 3 5 P X 2 3, X 3 2 P X 2 2, X 3 3 0.05
第三章 个体风险模型
保险人最关心的是总的理赔额S的分布，总理赔额 S的分布模型可以分为两类：短期个体风险模型和短 期集体（聚合）风险模型。 个体风险模型以单个保单作为研究对象，每张 保单是否发生理赔是相互独立的且保单总数在所考 虑的时期内是固定的。以Xi代表一张保单的赔付额， 则总的理赔额S被表示为： S X 1 X 2 ... X n 集体风险模型则将所有保单视为一体，以每次 理赔为基本对象，此时Xi代表一次赔付事件的赔偿 额，理赔次数N不是固定的，也是一个随机变量。
记
ui E Bi I i 1 , i2 Var Bi I i 1 E X i I i 0 0, E X i I i 1 E Bi I i 1 ui E X i I i ui I i ,
并注意到条件期望值
上述两式,实际上给出了条件期望 因此
§3.3 矩母函数和母函数法
由上一节，我们已经看到，用卷积法求总理赔额的分布 要做大量运算，很多情况下，用矩母函数法可以解决这个问 题。特别当 X1 , X 2 ,..., X n 是相互独立随机变量的时候，我们 有
M S t M Xi t
i 1
n
3.3.1
这 样 我 们 就 可 以 由 各 随 机 变 量 X i i 1, 2,..., n 的 矩 母 函 数
0 , 不发生理赔 I 1 , 发生理赔
利用示性(指示)函数 I ,可以将第 i 张保单的理赔量 X i 写成：
其中 qi P I i 1 代表第 i 张保单发生理赔的概率， Bi 代表该 张保单发生理赔时的理赔额。
0 , 1 qi X i I i Bi , B , q i i
P( S s) P( X Y s) P ( X Y s | Y y )P (Y y )
y0
s
s
P ( X s y | Y y )P (Y y )
y0 s
（3.2.1）
p X ( s y ) pY ( y )
y0
利用求和的可交换性， S 的分布也可写成
进而得条件方差的期望为 E Var 由方差分解公式得
2 2 Var X i Var E X I E Var X I u q 1 q i i i i i i qi i i
总的理赔额 S 为：
S X i I i Bi ,
个体风险模型的基本假设
一般情况下， 要获得总理赔额 S 的分布是非常困 难的，个体风险模型采用如下假设： （1）每张保单是否发生理赔以及理赔额的大小是相 互独立的，即 X 1 , X 2 ,..., X n 是相互独立的随机变量。 （2）每张保单在此时间段内至多发生一次理赔。 （3）保单总数 n是固定的，即模型是封闭的。
M X i t 很方便地求得总理赔额的矩母函数 M S t ，进而求出总
理赔额的分布。 当随机变量的矩母函数不存在时， 我们也可以利用母函数或 特征函数求出总理赔额的分布。
例 3-3-1 设 X 1 , X 2 ,..., X n 独立同分布 , 且 X i 服从伽马分布
( , )，设 S X 1 X 2
例 3-2-4 设 X 1 , X 2 , X 3 相互独立, 它们的分布如下表所示：
x
0.6 1 p 0.2 0.1 0.1 设 S X 1 X 2 X 3 ，已知 f S 5 0.06，求 p的值。
0 1 2 3
f1 x p
f2 x
f3 x
0.25 0.25 0.25 0.25
X n ，求 S 的分布。
【解】伽马分布的密度函数为 x 1e x f ( x) ( ) 经计算得到
P S s pY ( s x ) pX ( x )
y0
s
例 3-2-1 设随机变量 X 1 , X 2 相互独立, 它们的分布列分别为
1 2 1 2 3 0 0 X1 ~ ， X2 ~ 0.5 0.3 0.2 0.4 0.3 0.2 0.1 求 S X 1 X 2的分布。
FS ( s) P ( X Y s )

s 0 s
x y s
f ( X ,Y ) ( x, y )dxdy
x y s
f X ( x ) fY ( y )dxdy
s x f X ( x) fY ( y )dy dx 0
f X ( x )FY ( s x )dx
2 2 条件期望的方差为:Var E X i I i Var u I u Var I u qi 1 qi i i i i i
E Xi E ui I i ui E I i ui qi , E X i Ii E
0
所以，S 的分布密度为 f S ( s) 0 f X ( x ) fY ( s x )dx 利用求和的可交换性，S 的分布密度也可以写为：
f S ( s) f X ( s y ) fY ( y )dy
0 s
s
例 3-2-2 设 X 1 , X 2 相互独立，且均服从下列分布，
i 1 i 1
n
n
考虑到各个保单理赔额的独立性质， 则总理赔额的均值和方 差分别为：
E S ui qi
i 1
n
Var S u q 1 qi q
i 1 2 i i
n
2 i i
§3.2 独立随机变量和的分布（卷积方法）
对于相互独立的离散非负随机变量 X 与Y ， 设它们的分布 列分别为 p X 和 pY ，则 S X Y 的分布为
f S 120
100 20

f X1 x f X 2 120 x dx
100
2 2 100 x x 20 dx 2 2 100 100 20
4 1 3 2 100 ( x 60 x 2000 x ) | 20 0.0034133 4 100 3
f X ( x)
记 S X 1 X 2 ，计算 f s 120 。
f S 120
120
2 (100 x ),0 x 100 2 100
【解】由卷积公式（3.2.3） ，有

0
f X x f X 120 x dx
积分区域为 0 x 100和 0 120 x 100，即 20 x 100， 故上式可化为：
由于
Var X i I i 0 , Var X i I i 1 Var Bi I i 1 i2, Var X i I i i2 I i

,
2 2 X I E I i i i i i qi


故条件方差可写成
如前所述,个体风险模型研究保险人在 一个时间段内总的理赔额S X 1 X 2 .. X n 3.1.1
的概率分布， 其中 X i 代表第 i 张保单可能 发生的理赔额. 因此，个体风险模型以单个保单为研究 对象。
§3.1
S 的数字特征
用一个 0-1 随机变量 I （示性函数）表示理赔发生情况： I 1表示发生了理赔，I 0代表未发生理赔。 即 I 可表示为：