总的理赔额 S 为：
n
n
S Xi Ii Bi ,
i 1
i 1
考虑到各个保单理赔额的独立性质，则总理赔额的均值和方
差分别为：
n
E S uiqi i 1
n
Var S ui2qi 1 qi i2qi i 1
§3.2 独立随机变量和的分布（卷积方法）
对于相互独立的离散非负随机变量 X 与Y ，设它们的分布
集体风险模型则将所有保单视为一体，以每次理
赔理为赔基次本数N对不象是，固此定时的Xi，代也表是一一次个赔随付机事变件量的。赔偿额，
个体风险模型的基本假设
一般情况下，要获得总理赔额 S 的分布是非常困 难的，个体风险模型采用如下假设： （1）每张保单是否发生理赔以及理赔额的大小是相 互独立的，即 X1 , X2 ,..., X n是相互独立的随机变量。 （2）每张保单在此时间段内至多发生一次理赔。 （3）保单总数n是固定的，即模型是封闭的。
0.5 0.1 0.3 0.2 0.2 0.3 0.17
f (2)(4) P( X1 1, X2 3) P( X1 2, X2 2) 0.3 0.1 0.2 0.2 0.07
f (2)(5) P( X1 2, X2 3) 0.2 0.1 0.02
对于两个相互独立的连续型非负随机变量 X 和Y ，设其 分 布 密 度 分 别 为 fX (x) 和 fY ( y) ， 它 们 的 联 合 密 度 为 f( X ,Y ) ( x, y)，则由独立性知 f( X ,Y ) ( x, y) f X ( x) fY ( y)，S X Y 的 分布函数为：
120
fS 120 fX x fX 120 xdx 0
积分区域为0 x 100和0 120 x 100，即20 x 100，
f (2)(1) P( X1 0, X2 1) P( X1 1, X2 0)
0.5 0.3 0.3 0.4 0.27
f (2)(2) P( X1 0, X2 2) P( X1 1, X2 1) P( X1 2, X 2 0)
0.5 0.2 0.3 0.3 0.2 0.4 0.27 f (2)(3) P( X1 0, X2 3) P( X1 1, X2 2) P( X1 2, X2 1)
s
P S s pY (s x) pX ( x) y0
例
3-2-1
设随机变量
X
1
,
X
相互独立,
2
它们的分布列分别为
0
X1
~
0.5
1 0.3
2 0.2
，
X
2
~
0
0.4
1 0.3
2 0.2
3 0.1
求S X1 X2的分布。
【解】 f 2 0 P X1 0, X2 0 0.5 0.4 0.20
利用求和的可交换性，S 的分布密度也可以写为：
s
fS (s) 0 fX (s y) fY ( y)dy
例
3-2-2
设
X1
,
X
相互独立，且均服从下列分布，
2
2 fX ( x) 1002 (100 x),0 x 100
记S X1 X公式（3.2.3），有
并注意到条件期望值
E Xi Ii 0 0, E Xi Ii 1 E Bi Ii 1 ui 上述两式,实际上给出了条件期望 E X i Ii ui Ii, 因此 E Xi E E Xi Ii E ui Ii ui E Ii uiqi,
条件期望的方差为:Var E Xi Ii Var ui Ii ui2Var Ii ui2qi 1 qi
由于 Var Xi Ii 0 , Var Xi Ii 1 Var Bi Ii 1 i2, 故条件方差可写成 Var Xi Ii i2Ii , 进而得条件方差的期望为 E Var Xi Ii E i2Ii i2qi
由方差分解公式得
Var Xi Var E Xi Ii E Var Xi Ii ui2qi 1 qi i2qi
列分别为 pX 和 pY ，则S X Y 的分布为
P(S s) P(X Y s)
s
P( X Y s |Y y)P(Y y) y0
s
P( X s y |Y y)P(Y y) y0
（3.2.1）
s
pX (s y) pY ( y) y0
利用求和的可交换性，S 的分布也可写成
FS (s) P( X Y s) x ys f( X ,Y ) ( x, y)dxdy
x ys f X ( x) fY ( y)dxdy
s 0
f
X
(
x
)
sx 0
fY ( y)dydx
s
0 fX ( x)FY (s x)dx
所以，S 的分布密度为 fS (s)
s
0 fX ( x) fY (s x)dx
如前所述,个体风险模型研究保险人在
一个时间段内总的理赔额
S X1 X2 ... Xn
3.1.1
的概率分布，其中 X i代表第i 张保单可能
发生的理赔额.
因此，个体风险模型以单个保单为研究
对象。
§3.1 S 的数字特征
用一个 0-1 随机变量 I （示性函数）表示理赔发生情况：
I 1表示发生了理赔，I 0代表未发生理赔。即 I 可表示为：
第三章 个体风险模型
保险人最关心的是总的理赔额S的分布，总理赔额 S的分布模型可以分为两类：短期个体风险模型和 短期集体（聚合）风险模型。
个体风险模型以单个保单作为研究对象，每张 保单是否发生理赔是相互独立的且保单总数在所考 虑则的总时的期理赔内额是S固被定表的示。为以：Xi代表一张保单的赔付额，
S X 1 X 2 ... X n
0, 不发生理赔 I 1, 发生理赔
利用示性(指示)函数 I ,可以将第i 张保单的理赔量 Xi写成：
Xi
Ii Bi
0,
Bi
1 , qi
qi
,
其中qi P Ii 1代表第i 张保单发生理赔的概率， Bi 代表该
张保单发生理赔时的理赔额。
记 ui E Bi Ii 1 , i2 Var Bi Ii 1