2020-2021学年山东省枣庄市台儿庄区九年级(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．1．下列一元二次方程无解的是()A．x2﹣2x+1=0 B．2x2+x+3=0 C．x2+3x﹣2=0 D．2x2﹣3x﹣1=02．已知，则的值是()A．B．C．D．3．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是()A．5个 B．6个 C．7个 D．8个4．下列关于矩形的说法中正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分5．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为()A．4 B．6 C．4 D．46．圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是()A．0.324π m2B．0.288π m2C．1.08π m2D．0.72π m27．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．48．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为()A．B．C．D．9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是()A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣510．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有()①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④11．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为()A．2 B．3 C．4 D．512．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论:①∠ADG=22.5°；②=2；③S △AGD =S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ；⑥若S △OGF =1，则正方形ABCD 的面积是6+4，其中正确的结论个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题:本题共6小题，每小题填对得4分，共24分．只要求填最后结果．13．将方程x 2+4x=5化为(x +m)2=9，则m= ． 14．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ．15．已知:在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE=AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EF:FC 的值是 ．16．如图，正方形ABCO 的顶点C 、A 分别在x 轴、y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D 的坐标是 ．17．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是 ．18．已知a 1=，a 2=，a 3=，…，a n +1=(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a2020=(用含有t的代数式表示)．三．解答题:解答要写出必要的文字说明或演算步骤．19．解方程(1)2x2﹣7x+3=0(2)(x﹣2)2=2x﹣4．2020图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A(﹣2，1)，B(﹣1，4)，C(﹣3，﹣2)．(1)以原点O为位似中心，位似比为1:2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；(2)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．21．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？23．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．(1)求证:四边形AECF是菱形；(2)若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)24．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．(1)已知BD=，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．25．在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．(1)求证:；(2)若∠CGF=90°，求的值．2020-2021学年山东省枣庄市台儿庄区九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．1．下列一元二次方程无解的是()A．x2﹣2x+1=0 B．2x2+x+3=0 C．x2+3x﹣2=0 D．2x2﹣3x﹣1=0【考点】根的判别式．【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的正负，由此即可得出结论．【解答】解:A、∵△=(﹣2)2﹣4×1×1=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；B、∵△=12﹣4×2×3=﹣23＜0，∴该方程无解；C、∵△=32﹣4×1×(﹣2)=17＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；D、∵△=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=17＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．2．已知，则的值是()A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．【解答】解:令a，b分别等于13和5，∵，∴a=13，b=5∴==；故选D．3．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是()A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【解答】解:由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为:第一列第一行2个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为:2+2+1=5个．故选A．4．下列关于矩形的说法中正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解:A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．5．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为()A．4 B．6 C．4 D．4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．【解答】解:∵BC=8，∴CD=4，在△CBA和△CAD中，∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD•BC=4×8=32，∴AC=4；故选C．6．圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是()A．0.324π m2B．0.288π m2C．1.08π m2D．0.72π m2【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】利用中心投影的性质可判定圆环形阴影与桌面相似，则利用相似的性质得到=()2，然后利用比例性质计算出地面圆环形阴影的面积．【解答】解:圆桌面的面积=π(0.62﹣0.22)=0.32π(m2)，∵圆环形阴影与桌面相似，∴=()2，∴地面圆环形阴影的面积=×0.32π=0.72π(m2)．故选D．7．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【解答】解:作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知:当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选:C．8．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为()A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解:画树状图得:∵共有2020可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为:=．故选C．9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是()A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成(a+b)2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．【解答】解:∵a、b为方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵a2﹣ab+b2=(a+b)2﹣3ab=32﹣3p=18，∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=(﹣3)2﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．+===﹣2=﹣2=﹣5．故选D．10．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有()①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【考点】平行四边形的性质．【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．【解答】解:根据题意得:当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选:B．11．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为()A．2 B．3 C．4 D．5【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【解答】解:∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得:DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选:B．12．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC=S△OGD；于点E、G，连结GF，给出下列结论:①∠ADG=22.5°；②=2；③S△AGD=1，则正方形ABCD的面积是6+4，④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF其中正确的结论个数为()A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD 是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数；②由AE=EF ＜BE ，可得AD ＞2AE ；③由AG=GF ＞OG ，可得△AGD 的面积＞△OGD 的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG 是等腰三角形，即可证得AE=GF ； ⑤易证得四边形AEFG 是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG ； ⑥根据四边形AEFG 是菱形可知AB ∥GF ，AB=GF ，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF 时等腰直角三角形，由S △OGF =1求出GF 的长，进而可得出BE 及AE 的长，利用正方形的面积公式可得出结论【解答】解:∵四边形ABCD 是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得:∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得:AE=EF ，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF ＜BE ，∴AE ＜AB ，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG ＞OG ，△AGD 与△OGD 同高，∴S △AGD ＞S △OGD ，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF ∥AC ，∴∠FEG=∠AGE ，∵∠AGE=∠FGE ，∴∠FEG=∠FGE ，∴EF=GF ，∵AE=EF ，∴AE=GF，∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确．∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．=1，∵S△OGF∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF=═2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，=AB2=(2+2)2=12+8，故⑥错误．∴S正方形ABCD∴其中正确结论的序号是:①④⑤共三个．故选B．二、填空题:本题共6小题，每小题填对得4分，共24分．只要求填最后结果．13．将方程x2+4x=5化为(x+m)2=9，则m=2．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先配方，再根据完全平方公式变形，即可得出答案．【解答】解:x2+4x=5，x2+4x+4=5+4，(x+2)2=9，所以m=2，故答案为:2．14．设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=4，m=3．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣=4，x1x2==m，将其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解．【解答】解:∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，∴x1+x2=﹣=4，x1x2==m．∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，∴m=3．故答案为:4；3．15．已知:在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD 于点F，则EF:FC的值是或．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】分两种情况:①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE:BC=2:3，即可求得EF:FC的值；②当点E在射线DA上时，同①得:△EFD∽△CFB，求出DE:BC=4:3，即可求得EF:FC 的值．【解答】解:∵AE=AD，∴分两种情况:①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF:FC=DE:BC，∵AE=AD，∴DE=2AE=AD=BC，∴DE:BC=2:3，∴EF:FC=2:3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示:同①得:△EFD∽△CFB，∴EF:FC=DE:BC，∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，∴DE:BC=4:3，∴EF:FC=4:3；综上所述:EF:FC的值是或；故答案为:或．16．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是(2+，1)．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD，再由BC=2，∠D=60°可得出△BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即可得出结论．【解答】解:过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD=CD．∵BC=2，∠D=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=CD=2，∴CG=1，GD=CD•sin60°=2×=，∴D(2+，1)．故答案为:(2+，1)．17．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．【考点】矩形的性质；点到直线的距离．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．【解答】解:解:连接OP，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB•BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24，∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×5×PE +×5×PF=(PE +PF)=12， 解得:PE +PF=，故答案为18．已知a 1=，a 2=，a 3=，…，a n +1=(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2020= (用含有t 的代数式表示)． 【考点】规律型:数字的变化类． 【分析】把a 1代入确定出a 2，把a 2代入确定出a 3，依此类推，得到一般性规律，即可确定出a 2020的值．【解答】解:根据题意得:a 1=，a 2=，a 3=，…，2020÷3=672，∴a 2020的值为， 故答案为三．解答题:解答要写出必要的文字说明或演算步骤．19．解方程(1)2x2﹣7x+3=0(2)(x﹣2)2=2x﹣4．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】(1)本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．(2)通过移项，提公因式分解因数，使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．【解答】解:(1)2x2﹣7x+3=0原方程可变形为(2x﹣1)(x﹣3)=0∴2x﹣1=0或x﹣3=0，∴x1=，x2=3．(2)(x﹣2)2=2x﹣4．原方程可变形为(x﹣2)2=2(x﹣2)，移项得，(x﹣2)2﹣2(x﹣2)=0，提公因式得(x﹣2)(x﹣2﹣2)=0，∴x﹣2=0或x﹣4=0，∴x1=2，x2=4．2020图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A(﹣2，1)，B(﹣1，4)，C(﹣3，﹣2)．(1)以原点O为位似中心，位似比为1:2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；(2)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】(1)利用位似比为1:2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案；(2)利用(1)中位似比得出对应点坐标关系．【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1即为所求，C1点坐标为(﹣6，4)；(2)如果点D(a，b)在线段AB上，经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标为；(2a，2b)．21．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】(1)利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；(2)分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．【解答】解:(1)所有可能出现的结果如图:从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为:；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为:，乙获胜的概率为:．∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】(1)设每次降价的百分率为x，(1﹣x)2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；(2)设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解答】解:(1)设每次降价的百分率为x．40×(1﹣x)2=32.4x=10%或190%答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；(2)设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由题意，得(40﹣30﹣y)(4×+48)=510，解得:y1=1.5，y2=2.5，∵有利于减少库存，∴y=2.5．答:要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．23．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．(1)求证:四边形AECF是菱形；(2)若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)【考点】矩形的性质；菱形的判定．【分析】(1)由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；(2)由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】(1)证明:∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；(2)解:∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为:EC•AB=2．24．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．(1)已知BD=，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】(1)利用正方形的性质和勾股定理计算即可；(2)先判断出EO为△AFC的中位线，再由EO∥BC得出，进而利用直角三角形得出CM=EM，再判断出△CBN∽△COM得出比例式，进而得出CN=CM，即可得出结论．【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；(2)CN=2EM理由:∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，AE=FE∴EO为△AFC的中位线∴EO∥BC∴∴在Rt△AEN中，OA=OC∴EO=OC=AC，∴CM=EM∵AF平分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴，∴CN=CM，即CN=2EM．25．在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．(1)求证:；(2)若∠CGF=90°，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】(1)根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得．(2)作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由(1)得:=3，得出BG=CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EG•EF=DE•EC，由平行线证出，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出结果．【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．(2)解:作EM⊥AB于M，如图所示:则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由(1)得:=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得:EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==3．2020年2月27日。